Graviness Blog

算数・数学・科学・電脳・雑記・アホの順の密度で記事が構成されます。
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【未解決】サイコロを1つ振って、3以上の数字が出る確率はいくら?
とあるコミュニティで、http://pbs.twimg.com/media/BVoDig2CAAAZPel.jpg がありました。

考えると答えは3分の2になりますが、この画像にはありませんw

わたしは出題者の出生や生い立ちについて真面目に考えw、出題者が日頃想像するサイコロは六面体のサイコロではないと結論し、次の問題にしてみましたw

「n面体のサイコロを1つ振って3以上の数字が出る確率が、3分の1又は2分の1又は4分の1又は5分の1になるnを求めよ。」

整数方程式が出てくるので意外に面倒くさそうですが、元ネタが面白いので記事にしてみましたw

JUGEMテーマ:学問・学校
【未解決】新しい演算子を創る
「新しい演算子を創る」ってなんやねん、でしょうね。

演算子 + や × は、別に最初からあったわけではありません。一文字で表現できるし便利だから、人間が創ったわけです。演算子は、別に計算だけに用いられるとは限りません。プログラミングの世界では、a . b で、.(ドット)を名前解決演算子と定義しているものもあります。

演算子は、無限に創ることができます。ただし、その規則や特性が、めちゃくちゃであれば、価値はありません。例えば、「"A ♡ B" は、二項演算子♡によって、人間Aと人間Bが恋をしているときAを返し、そうでなければBを返す」と定義する、は面白そうですがw、"人間" や "恋をする" の定義が曖昧なことや、定義したところで応用性が見いだせないなど、あります。

本記事では、私的に数学的に意味がありそうな演算子を定義することを問題とします。以降、急激に内容が難しくなりますので、注意ください。
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アッカーマン関数(証明編)
アッカーマン関数は、非負整数に対し、次のように定義される関数です。
・・・(A)

本記事では、多重矢印演算子(タワー表記)を使えば、(A) は、次のように表示できることを証明します。(前回の記事の内容については、数学的帰納法で証明しなおします。)
・・・(B)
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アッカーマン関数(模索編)
アッカーマン関数は、非負整数に対し、次のように定義される関数です。
・・・

2回の記事に分けて、多重矢印演算子(タワー表記)を使えば、次のように表現できることを証明します。
・・・
以降では、証明までの道のりを記しますが、証明する気なんてさらさらなかったので、しばらく“なんか”しようと模索してます。ご勘弁をw
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6+5×3 の答えは?
6+5×3 の答えは、21です。これを33と答える人も多いのだそうです。+と×では、×を優先することを知らない、もしくは忘れてしまっているのでしょう。

「21に決まってるだろ、33なんて答えるのは、ゆとりだゆとり」なんて発言もありますが、果たしてこれ、それほどの常識でしょうか。

大人のほとんどの方は、日常で、“6+5×3” という表示自体を見ることは、ないと思います。(もちろん、その人のライフスタイルによりますよ!)

「飲み会で、男二人が5000円ずつ支払って、女二人が3000円ずつ支払った。合計は?」というようなことはまれにあったとしても、「5000×2+3000×2」というような表示を目にすることは、まずないでしょう。後者よりも前者のほうが、正確な答えを出す人は多いのではないかと思います。

これでも、常識だ、と自信満々に言い張る方は、以下の問題をすぐに解けるでしょうか?
ただし、^は、べき算演算子(累乗演算子)であり、符号+−よりも優先順位は低く、右結合とします。

問1: 3×−−2−−1
問2: 6÷2(1+2)
問3: −2^−2^+2
問4: 2^3^4÷4
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新聞紙を折ったときの厚さ

いきなりですが新聞紙を 37回 折ると、その厚さが地球の直径を超えます。たったの37回です。

この記事では新聞紙を折っていくとその厚さが何を超えていくのかを明らかにします。最終的に宇宙の大きさを超えるところまで記載します。

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階乗の値が宇宙を崩壊させるとき
業務中、アルゴリズムを考えていた同僚との次の会話から始まります。

同僚「2048の階乗の値って何ですっけ?」
私「・・・・・・・・・いや、無理だろ。宇宙が崩壊するんじゃ?w」
同僚「ですよね〜w」

実際には質問が勘違いで1から2048までの総和のことだったのですが、この「宇宙が崩壊する」とはどういうことなのか、実際に宇宙を崩壊させるために十分な階乗の値とは何なのかをこの記事では書いてみます。
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ロープを引き上げる方程式
地球上にロープを一周させたあと、地球の半径が1メートル大きくなっても、ロープは、予想に反して、6メートル(2πメートル)しか伸びない。つまり、ロープの長さの変化は、元の大きさに依存せず、空き缶でも太陽でも一定である。

これを考えていた大学時代の同期が、次のようなことを言いました。

「元の大きさどころか、その形状にも依存せず、1メートル引き上げたとき、ロープの変化は、2πなんじゃないか。」

確かに、正四角形に一周しているロープを想像してみると、ロープは引き上げ方によっては、角に四分の一円を4つ作ります。

な〜んとなく正ほにゃらら角形では、うまく行きそうですが、その角の部分の定式化が可能なのかが、怪しいです

 ってな話を、腹囲と腹の厚み、でしました。

この記事では、次のアプローチでこれを考えます。

ある図形があるとき、その上で球をゴロゴロころがし、その球の中心の軌跡がどうなるかを求め、そして、ゴロゴロころがった距離は、いくらかを求めます。

これで、任意の曲線に対し、ロープを引き上げたときの曲線の方程式と、そのロープの長さが分かるはずです。記事の最後に楕円図形で例題を出しています。

※これ以降、いきなり内容が難しくなるので、数学恐怖症の人は、読まないで下さい。
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腹囲と腹の厚み
明けましておめでとうございます。優乃です。

突然ですが、去年の健康診断で、一昨年と比べて腹囲が、6センチも増えていたことが分かりました。まだ、メタボリックとは認定されていません(キリッ 時間の問題です(キリッ さて、腹囲は、その名の通り、“腹の周り”ですから、腹そのものの厚みが何センチ増したかは教えてくれません。これが分かることで、腹の脂肪的なものが何センチ厚みを増したが分かるかも知れないわけです。

この記事で明らかにするのは、健康診断で調べられた「腹囲の増加分は、腹の厚みの増加分にすると、どの程度なんだろう」ということです。

例えば、腹囲が3センチ増えていたとき、横から見たときの厚み(腹の厚み)が3センチ増えていたら、ちょっとショックでしょう。そんなことはないはずです(と、信じたい)。

結論から書くと次の関係が得られます。

腹囲の増加値を3で割った値が、横から見たときの腹の厚みの増加値

ということで、腹囲が6センチ増えた私は、腹の厚みが2センチ増えたってことです。
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人間が一生かけて数えることができる数はいくつまで?
私には、本当に暇になると数学の問題を創ってそれを解くという趣味・思考・試行・嗜好があります。正月の帰省先の実家から自宅までの移動の8時間が本当に暇な時間です(早く九州の東側にも新幹線通らないかと思っています)。

さて、数を 1 から、"いち"、"に"、"さん"、"し"・・・と数え続けたらいくつまで数えられるのでしょうか?はい、どうでもいいことで生活には一切役に立たないことは承知の上での頭の体操です。

結論から書きます。私調べでは、約10億 との答えが出ました。

これを数学的に求めるに当たってのポイントは、1、2、3・・・ と最初は勢いよく数えることができますが、35412、35413、35414・・・ など数が大きくなるにつれて段々と数えることができる速さが減速していくところです。

以下では次を定式化します。まず、ある数を数えるのにどのくらいの時間が掛かるのかを求め、その次に、1 から数えて、ある数まで数えるのにどのくらいの時間が掛かるのかを求めます。
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