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微分方程式 f'(x) = f(x+1) を解く話

表題の「微分方程式 」は超超基礎的な「微分方程式 」の一箇所だけを変えた方程式です。もちろん の解は、 です。表題の式もこのノリで解いてみましょう。 と表記すると表題の式は

と表記でき、ここで とおくと合成関数の微分より なので

んっ?!?!?!?!?!

「微分方程式 」の解と同じになってしまいました。もちろん、これは正しい式ではありません。実際代入してみると となり両辺は等しくありません。

※上記操作のどこが間違っているのかは依然として分かっていません。どなたか、どこが間違っているのか教えてください!

さて、 は簡単には解けないことが分かりました。表題の式は超超基本的な微分方程式をだけずらしていることがポイントですが、少しずらした値とそのときの傾きが等しいことを考えると、実はに変えた微分方程式の解について下式が成り立つことが分かります。

実際、左辺 = 、右辺 = となり両辺は等しく成り立ちます。これをヒントにx軸でスケーリングするなど、+1に関連する定周期の周期関数を考えればうまくいくかと思えば、、、これもうまくいきません。

私は「ただ+1だけずれているだけで、値とそのときの微分の値が等しい関数なので、ネイピア数を底とする指数関数が関連しているだろう」と推測し、 の形式で表題の式が成り立つを求めるアプローチとしました。

前置きが非常に長くなりました。以降で表題の式を一般化した次の微分方程式の解を導出します。

JUGEMテーマ:学問・学校

微分方程式の解を と仮定し両辺に代入して

ゆえに 、即ち または である。後者について、

ここでランベルトのW関数を用いれば

よって

上式は を満たす,,

以上で導出は終わりです。

表題の式 の解は、 の場合ですので、代入すれば、 を得、これはおおよそ となります。複素関数ですので想像するのは難しいですね。。。。

また、上述した の解は、 の場合ですので、代入すれば、 を得、実軸上の解を考えていたことが分かります。

P.S.: 会社のフロアのホワイトボードに本問題「」を書いたところ返信があり、この解を導出するに至りました。

数学/算数 | 10:44 | comments(0) | - | - | - |
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