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数式でみるドル・コスト平均法

ドル・コスト平均法は投資手法の一つです。毎月一定額の株(株券)を購入するため、単に定額購入法とも言います。

iDeCoつみたてNISAの運用においても定番の手法ですので、用語を知らないだけで実践はしているといった方も多いと思います。

本記事では、ドル・コスト平均法における総投資額や損益を数式で示し、その数式から分かる意味を示します。

JUGEMテーマ:経済全般

まず、次の定義を与える。

時点tにおける単位株あたりの価格 [円/株]: w(t)

毎回の投資額 [円]: q; 定数

ドル・コスト平均法では、毎回の投資額は定額です。色々な意味で単純・簡単です。

初回の投資時点: t1

各回の投資間隔: T

k回目の投資時点: tk = t1 + (k-1) T

ドル・コスト平均法における投資家がコントロール可能なパラメータは、毎回の投資額、投資間隔、および投資回数です。

このとき、次が成り立つ。

時点tにおける取得株数 [株]: s(t) = q / w(t)

株価が安いときは株を多く取得し、株価が高いときは株を少なく取得することを意味します。ドル・コスト平均法の際立った特性です。

n回投資時点の総投資額 [円]: Q(n) = Σ[k=1,n] q = q n

n回投資時点の総取得株数 [株]: S(n) = Σ[k=1,n] q/w(tk) = q Σ[k=1,n] 1/w(tk)

総取得株数は、毎回の投資額に比例することを意味します。毎回の投資額が10倍であれば、単純に総取得株数も10倍です。

n回投資時点の総評価額 [円]: P(n) = w(tn) S(n) = w(tn) q Σ[k=1,n] 1/w(tk) = q Σ[k=1,n] w(tn)/w(tk)

総評価額は、毎回の投資額と最後時点の株価が大きく影響します。特に最後時点の株価で、吉にも凶にもなります。売却方法が重要であることが分かります。

n回投資時点の損益 [円]: X(n) = P(n) - Q(n) = q ( Σ[k=1,n] { w(tn)/w(tk) - 1 } )

損益は、毎回の投資額に比例します。また損益は、最後時点の株価が大きく影響します。
株価が安い期間が長く、最後の短い期間で株価が上がると利益が最大化します。逆に、株価が高い期間が長く、最後の短い期間で株価が下がると損失が最大化します。
さらに、`w(tn)/w(tk) - 1`が0より大きければ利益が増すことから、ある時点の投資が損であったか得であったかは、売却時点では明確に分かります。

そして、株運用の原則「安いときに株を購入し、高いときに株を売却する」を評価するための、結局単位株をいくらで取得したかを求める。

総投資額/総取得株数 [円/株]: W(n) = Q(n)/S(n) = n/Σ[k=1,n]1/w(tk)

これは調和平均そのものです。毎月一定額ではなく毎月一定株を取得する手法では、この値は算術平均となります。相加相乗調和平均の不等式により、必ずドル・コスト平均法のほうが安く取得できることが数学的に証明できます。

いかがでしょうか。ドル・コスト平均法の損益は、売却時点の株価が大きく影響することが分かりました。ということで、私の次の目的は、同程度の能力と手間でリスクを分散可能な株の売却方法について知ることです。

最後に、私がこの記事を書くきっかけは、コロナウィルスです。じ〜っと式を見ていれば分かるように長期間ドル・コスト平均法で積み立て投資してきた人にとって、コロナウィルスの影響で気にすることは、売却時点で元の価格帯近くまで戻っているかどうかです。また、下落時に売却する行為はドル・コスト平均法の考えからして得策ではありません。あと数十年はあります。私は戻ると信じているので(信じないとやってられない)ので投資を続けます♪

ビジュアル パンデミック・マップ 伝染病の起源・拡大・根絶の歴史

数学/算数 | 16:23 | comments(0) | - | - | - |
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