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a_(n+2)=f(n) a_(n+1)+g(n) a_(n) の一般項

初項をとし、およびを既知の値とする漸化式 の一般項を導出?します。

導出する一般項の表示は連分数の積を含んでおり、全く実用的でないことを最初に断っておきます。結論の式は本記事の中段あたりの枠内に示します。後段には、念の為の証明を示します。

一般項の導出前に実際の展開式がどうなるか見ておきます。

上式をじ〜っと見てたら規則性が。。。ありません。多分。。。いや、ないのでしょう。。。さて、導出を始めます。

与式の両辺にを掛けて

ここで、とおいて

上式をの形にしたいため、未知の関数を使用する。両辺にを掛けて

...

となる。ここで、分母がの項の分子に注目して、を解く。

...

対数をとって

両辺にを掛けて

ここで、とおいて

これは階差数列の形なので解けて

ここで、は任意の値でよく、ここでは、として

を得る。,豊△鯊綟して

ここで、とおいて

上式を順々に展開すると

となり、これは正則連分数の形で表示できて

を得る。ゆえに

ここで右辺を

とおいて

ゆえに

ここで

ゆえに

よって、表題の一般項

漸化式の一般項は以下である(初項: , および: 既知の値)。

以降で数学的帰納法により証明する。右辺にを代入して

となり、のとき成り立つ。右辺にを代入して

となり、のとき成り立つ。のとき成り立つと仮定すると

上式の右辺に仮定した式を代入して

を得る。本数学的帰納法の目標となる式は以下であって

目標となる式の右辺で全体を括って(括った内部の式が1であることを示す作戦)

気の利いた例題でも示そうかと思いましたが、LATEXで書きながらの証明に疲れたので断念します。

関連記事:

* 【誰か解いて】漸化式 a_(n+1) = f(n) * a_n ^ g(n) + h(n) の一般項

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