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確率密度関数f(x)=2xに従う確率変数の和と平均の確率密度関数の導出
興味のある分野等で統計学を活用してみると分かりますが、バシッと合うパターンが記載されていることは稀で、すぐに応用するための知識が必要になります。大学講義でも使用されるような書籍は濃過ぎだし、実用的か?というと非効率です。「プログラミングのための確率統計」は応用し始めた人には丁度良いです。“プログラミングのための”となっていますが、プログラムは登場しません。“プログラミングのための”が同著の実用性の高さと知るべきに応える密度の濃さに一役買っています。また、感覚的にでも数式レベルで分からないと気持ちが悪いという人も必見です。本記事でも活用させて頂きました。

本記事では「中心極限定理の具体例 | 高校物理の備忘録」にある“具体例1”:が従う相対度数分布グラフの厳密な曲線、即ちが従う確率密度関数を導出します。確率変数の変数変換合成積(畳み込み)などを使用します。

JUGEMテーマ:学問・学校

は確率変数であり、確率密度関数は下式です。

確率密度関数

を上述の独立同分布の確率変数とするとき、が従う分布の確率密度関数を求めることが本記事の目標です。

一般的に、確率変数の確率密度関数が与えられているとき、確率変数を関数で変数変換した確率変数は、

と表示でき、このときであり、確率密度関数は次式で得られます。

具体的にを独立同分布の確率変数とし、確率変数の確率密度関数をとするとき、を変数変換したの確率密度関数

となり、改めてと置き換えて表示すれば、

と表示できます。これは確率密度関数が求まりさえすれば、上式のに2を代入し、本記事の目標の確率密度関数が求まることを意味します。

以降では確率密度関数を求めます。

一般的に確率変数の確率密度関数を、確率変数Yの確率密度関数をとするとき、確率変数の和の分布の確率密度関数は次式で得られます。

本記事の対象では、は同分布ですので次式を解くことになります。(同分布だからといって、X+Yを2Xとしないことに注意)

上式のでしか意味を持たないことに注意すると、積分区間は

を満たす必要があり、変形して

を満たす必要があります。(以下の場合分けを図ではなく文字で説明すると、t軸上のf(t)由来の区間[0, 1]を基準にし、f(x-t)由来の区間[x-1, x]のxを変えていきます。どちらの区間も幅が1になっていることがポイントです。)

i) の場合

ii) の場合

iii) 上記以外

以上をまとめると、確率変数の和の分布の確率密度関数は以下となります。

さて、目標はを求めることですので、,鮖藩僂靴董

となります。これを整理し、

確率密度関数に従う独立同分布の確率変数があるとき、確率変数の確率密度関数は以下となる。

上関数は「中心極限定理の具体例 | 高校物理の備忘録」に示される“具体例1”のの曲線と一致します。

あとがき:

* もともとの目的は、母比率の場合の和の確率密度関数を求め、適切なサンプルサイズの指針が得られないか調べてみることでした。その簡単な練習台として、を用いたのでした。目的のためには、の変化によるを分析する必要がありますが、が増えるにつれ場合分けも増えることになり、結構大変です(特に積分区間と使用する関数の選択)。また、時間があれば別記事で書きたいと思います。

* 本記事の数式表示には、CODECOGS® Equation Editorを使用しました。

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