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漸化式 a_(n+1) = f(n) * a_n ^ g(n) の一般項

あけましておめでとうございます。京都⇔宮崎の実家の移動中の数学の成果wを記事にします。

 

結論から記載すると、漸化式

a_(n+1) = f(n) * a_n ^ g(n)

の一般項が

a_n = {a_1^Π[i=1,n]g(i) * Π[j=1,n-1]{f(j)^Π[i=j+1,n]g(i)}}^{1/g(n)}

となることを示します。

 

---

与漸化式の対数をとると

両辺をで割ると

ゆえに

ここで、とおくと

これは階差数列の形なので解けて、のとき

よって

ゆえに

ゆえに

ゆえに

ゆえに

の場合、である。

 

---

 

例題として、漸化式

a_(n+1) = √n / a_n

の一般項は、上式の f(n) = √n, g(n) = -1 として、

a_n = {a_1^Π[i=1,n](-1) * Π[j=1,n-1]{√n^Π[i=j+1,n](-1)}}^{1/(-1)}

= a_1^(-1)^(n-1) * Π[j=1,n-1]{√n^(-1)^(n-j-1)}

などとなります。

 

関連記事:

漸化式 a_(n+1) = f(n) * a_n + g(n) の一般項

 

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