漸化式 a_(n+1) = f(n) * a_n ^ g(n) の一般項
与漸化式の対数をとると
両辺を
で割ると
ゆえに
ここで、
とおくと
これは階差数列の形なので解けて、
のとき
よって
ゆえに
ゆえに
ゆえに
ゆえに
の場合、
である。
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例題として、漸化式
a_(n+1) = √n / a_n
の一般項は、上式の f(n) = √n, g(n) = -1 として、
a_n = {a_1^Π[i=1,n](-1) * Π[j=1,n-1]{√n^Π[i=j+1,n](-1)}}^{1/(-1)}
= a_1^(-1)^(n-1) * Π[j=1,n-1]{√n^(-1)^(n-j-1)}
などとなります。
関連記事:
漸化式 a_(n+1) = f(n) * a_n + g(n) の一般項
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