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d/dx(x↑↑n): 高さが定数のテトレーションの微分 - 数学的帰納法を用いる方法

本記事では高さが定数nのテトレーションの微分 d/dx(x↑↑n) を証明付きで示します。表記として、nx := x↑↑n を用います。

とするときについて一般的に次が成り立つ。

ゆえに

i = 1から順番に求めていくと

これを整理すると

上記より次式を推測できる

以下で数学的帰納法により証明を行う。

i) のとき

ゆえにのとき成り立つ。

ii) のとき成り立つと仮定すると

ここでよりなので、これに仮定した式を代入して

よってのとき成り立つ。ゆえにi)、ii)より以下が示された。

ゆえに

---

* 【未解決】テトレーションの微分(こちらは高さが変数です)にコメント頂いたのもあって久し振りに数学しましたき
* それにしても答えは扱い難い式なのでもう少しシンプルにできないものか、と思います。(ガンマ関数???)
* この手の証明付き情報はインターネットでも日本語での記事は少ない印象です。一般論はわたしには難しいので巨大数ではよく使われる "3" の場合について突き詰めて考えてみたいです。
* テトレーションの実数への拡張については、最後の式の n を使われ方を見る限り困難そうです。上記証明において "テトレーション固有の特性" を使用した箇所も、ln(ix) = i-1x ln(x) くらいであり、実数への拡張において制限を付けるとしてもこの程度は成り立っていて欲しいと思うものだけです。


関連記事
* 【未解決】テトレーションの微分


JUGEMテーマ:学問・学校
コメント
from:   2015/07/17 8:26 PM
なるほど。こっちはこうやれば微分できるんですね!!思いもつきませんでした。

テトレーションについて別の方法でちょっと考えてみました。すると、( https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8D%E5%BE%A9%E5%90%88%E6%88%90%E5%86%99%E5%83%8F )に書いてあった反復合成写像を使うと、指数法則っぽいのが見つかりました。(よく考えると当たり前ですが)そのため、反復合成写像に関し、複素数回反復ができればテトレーションも拡張できることに気付きました。(といっても更に難しい問題になっただけなのですが)
この問題、なんかはむちゃくちゃ難しいみたいです。それでも、( http://mathoverflow.net/questions/17605/how-to-solve-ffx-cosx )に答えっぽいのがのっていました(英語苦手なので読み切れてません)。
上で書いた指数法則みたいなやつとは、
a↑↑(n+m)=f_a ^m(a↑↑n)
(f_a(x)=a^x,f_a ^m(x)はf_a(x)のm回反復)
です。上でn=0,mを任意の複素数とすると一応の拡張ができます。まあ、反復のほうが複素数へ拡張できてないみたいなのでどうにも…。
みたいな話でした。
from: 優乃   2015/07/24 11:38 PM
To: さん

あたらしい知識でした。ありがとうございます。逆関数の表記を "f^(-1)(x)" のようにしていた理由が分かった気がします♪

関数表記と演算子の表示、には本質的には関係はありませんが、冪乗演算子も今の "a^x^y" などの表示を "y^x^a" と表示するようにしていれば、左結合になっていたのにな、とか思います。

あとご存知かも知れませんが、微分階数を有理数まで拡張する学問もあります。本問題も数の範囲を拡げて考える意味で興味深いです。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%88%86%E6%95%B0%E9%9A%8E%E5%BE%AE%E7%A9%8D%E5%88%86%E5%AD%A6
from:   2015/09/30 4:37 PM
お久しぶりです。さて、この度少し思いついたことがあるので、コメントさせていただきます。
私が昔やっていたことの一つに、差分というのがありました。(https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%89%E9%99%90%E5%B7%AE%E5%88%86参照)これは、微分の整数版みたいな感じのもので、微分出来なくても差分出来る、的なメリットがあります。そこで、そのサイトに書いてある通り、テイラー展開的なものがあるのです!
さてさて、テトレーションa↑↑xのxでの差分は当然、 a↑↑x+1 - a↑↑xとなります。この後もいくらでも差分していけそうです。
ということは、テトレーションを前述のテイラー展開的なものにしてみれば、一般化できるんじゃん!?、と考えました。残念ながらそのサイトに書いてある通り、それには制限があります。なので、まだ何の厳密さもなく、いくつかの数値的な検証しかしておりません...が、その線でやっていってみたいと思います。よろしかったらやってみてください。私はうまく行かなくても優乃さんならいけるかもしれないので...
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