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Σ[k=1,n]floor(log_a(k)), a∈N
記事「人間が一生かけて数えることができる数はいくつまで?」で曖昧にしていた Σ[k=1,n]floor(log(k)) の展開式の新たな証明です(floor: 床関数)。当該記事の結果を変えるものではありません。本記事では一般化して Σ[k=1,n]floor(log_a(k)) で考えます。

仮に与式をとするとき与式は次のように変形できる。

上記定数に置き換えれば次を得る。

証明は後に行う。さらに上式を進めて、ここでより

ゆえに

ゆえに

以降では数学的帰納法により、についてこれを証明する。


i) の場合

よって、のとき成り立つ。


ii) のとき成り立つと仮定すると

両辺にを足して


ii-1) の場合


ii-2) の場合

であり、このとき次が成り立つ。

また

よって

ii-1)、ii-2)より、のとき成り立つ。ゆえに以下が示された。


---


* すっきりしました。
* 当該記事では、 ∫[0, a]|x|dx = (|a| / 2) * (2a - |a| -1) という怪しい式を用いたのですが、結果は変わらないのでこれも正しい式だと考えられます。また証明したいです。
* "一生数える" などでGoogle検索する と2番目に表示されますが、1番目に表示される記事もわたしが計算した値と一致していることが興味深いです笑

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