Graviness Blog

算数・数学・科学・電脳・雑記・アホの順の密度で記事が構成されます。
<< June 2018 | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 >> ブログランキング・にほんブログ村へ
 
RECOMMEND
ビッグバン宇宙論 (上)
ビッグバン宇宙論 (上) (JUGEMレビュー »)
サイモン・シン, 青木 薫
RECENT COMMENT
  • 豊臣秀吉と曾呂利新左衛門から学ぶ数列の和
    優乃 (07/12)
  • 【誰か解いて】漸化式 a_(n+1) = f(n) * a_n ^ g(n) + h(n) の一般項
    優乃 (02/18)
  • 【誰か解いて】漸化式 a_(n+1) = f(n) * a_n ^ g(n) + h(n) の一般項
    S.S.+ (02/16)
  • 豊臣秀吉と曾呂利新左衛門から学ぶ数列の和
    坂井昭 (03/19)
  • d/dx(x↑↑n): 高さが定数のテトレーションの微分 - 数学的帰納法を用いる方法
    (09/30)
  • 全ての三角形は二等辺三角形
    優乃 (09/28)
  • 全ての三角形は二等辺三角形
    亀レス (09/28)
  • 全ての三角形は二等辺三角形
    優乃 (09/24)
  • 全ての三角形は二等辺三角形
    亀レス (09/23)
  • 【未解決】新しい演算子を創る
    $_ (09/10)
RECENT TRACKBACK
MOBILE
qrcode
PROFILE
無料ブログ作成サービス JUGEM
 
log(x) / x = const. の一般解は存在しない?
x に関する方程式
 
logx / x = const.

初等関数の範囲では解けないことをはっきりさせたいだけです。適当なエビデンスがあれば証明は求めません。

といいいますのも、記事「ab > ba となる a と b の条件を求めよ」で壁になった方程式(のため回り道をして解いたの)ですが、「ランベルトのW関数」を見る限り解けなさそうです。

JUGEMテーマ:学問・学校
---

与式 logx / x = const. ではなく、これを解かざる負えなくなった以下の大元の式を考えます。
 
ax = xa ... (1)

両辺の自然対数logをとって、
 
xloga = alogx

logx / x = loga / a ... (2)

式(2)が表題の式です。これを変形してランベルトのW関数の形まで持っていきます。(2)より、
 
logx = (loga / a)x
-logx = -(loga / a)x
log(x-1) = -(loga / a)x
log(1 / x) = -(loga / a)x
1 / x = e-(loga / a)x
1 = x e-(loga / a)x

∴-(loga / a) = -(loga / a)x e-(loga / a)x ... (3)

(3)式 の -(loga / a)x の部分を適当な変数に置き換えるとわかりますが、f(x) = x ex の形であり初等関数では解けないことになります(cf. ランベルトのW関数)。ゆえに与題について次がいえます。
 
a を任意の実数とするとき、x に関する方程式 ax = xa の解は一般的に初等関数では表現できない。
同様にして、logx / x = const. の解は一般的に初等関数では表現できない。 ,,

---

本記事の目的は達成しましたが、折角なのでランベルトのW関数で表現してみます。(3)からすぐに、
 
-(loga / a)x = W(-(loga / a))

∴x = -(a / loga) W(-(loga / a)) ,,

となり、ax = xa の解を表現できました。
コメント
コメントする









 
トラックバック
この記事のトラックバックURL
http://blog.graviness.com/trackback/949255
 

(C) 2018 ブログ JUGEM Some Rights Reserved.