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log(x) / x = const. の一般解は存在しない?
x に関する方程式
 
logx / x = const.

初等関数の範囲では解けないことをはっきりさせたいだけです。適当なエビデンスがあれば証明は求めません。

といいいますのも、記事「ab > ba となる a と b の条件を求めよ」で壁になった方程式(のため回り道をして解いたの)ですが、「ランベルトのW関数」を見る限り解けなさそうです。

JUGEMテーマ:学問・学校
---

与式 logx / x = const. ではなく、これを解かざる負えなくなった以下の大元の式を考えます。
 
ax = xa ... (1)

両辺の自然対数logをとって、
 
xloga = alogx

logx / x = loga / a ... (2)

式(2)が表題の式です。これを変形してランベルトのW関数の形まで持っていきます。(2)より、
 
logx = (loga / a)x
-logx = -(loga / a)x
log(x-1) = -(loga / a)x
log(1 / x) = -(loga / a)x
1 / x = e-(loga / a)x
1 = x e-(loga / a)x

∴-(loga / a) = -(loga / a)x e-(loga / a)x ... (3)

(3)式 の -(loga / a)x の部分を適当な変数に置き換えるとわかりますが、f(x) = x ex の形であり初等関数では解けないことになります(cf. ランベルトのW関数)。ゆえに与題について次がいえます。
 
a を任意の実数とするとき、x に関する方程式 ax = xa の解は一般的に初等関数では表現できない。
同様にして、logx / x = const. の解は一般的に初等関数では表現できない。 ,,

---

本記事の目的は達成しましたが、折角なのでランベルトのW関数で表現してみます。(3)からすぐに、
 
-(loga / a)x = W(-(loga / a))

∴x = -(a / loga) W(-(loga / a)) ,,

となり、ax = xa の解を表現できました。
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