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半径rの円に内接する正n角形の周の長さを求めよ
タイトル通り。任意のnは難しいかも。

nが大きいとき周の長さが2Πrに近づくことを確かめたいだけなのでw、次の問題でも良いです。
 
「半径rの円に内接する正n角形があり周の長さの一つを f(n) とするとき、limn->∞f(n) = 2Πr となる f(n) を求めよ。」

JUGEMテーマ:学問・学校
---

様々な解き方があると思いますが、本記事では複素平面を考えます。

複素平面上の座標は極形式で半径r、偏角θとして一般的に次のように表示できます。
 
... (1)

上記複素数zは、複素平面において原点を中心とする半径rの円上にあります。ここで、 (k: 整数) とした次の複素数P_kは、k の値に応じて複素平面上の正n角形の各点の座標を表します。
 
... (2)

よって、(2)の隣り合う各座標の距離が正n角形の1辺の長さとなり、
 
正n角形の1辺の長さ = ... (3)

が得られます。正n角形の1辺の長さは、k の値に依存せずすべて同じ値なので、簡単のため k = 0 の次の式を考えます。
 
正n角形の1辺の長さ = ... (4)

よって、
 

= |r(cos(2Π / n) + isin(2Π / n)) - r(cos0 + isin0)|
= r|cos(2Π / n) + isin(2Π / n) - cos0 - isin0|
= r|cos(2Π / n) + isin(2Π / n) - 1|
= r|(cos(2Π / n) - 1) + isin(2Π / n)|
= r√((cos(2Π / n) - 1)2 + sin2(2Π / n))
∵|x+iy| = √(x2 + y2)
= r√(cos2(2Π / n) - 2cos(2Π / n) + 1 + sin2(2Π / n))
= r√(1 - 2cos(2Π / n) + 1)
cos2x+sin2x = 1
= r√(2 - 2cos(2Π / n))
= √2 r√(1 - cos(2Π / n))
= 2r|sin(Π / n)|
sin(θ/2) = ±√((1 - cosθ) / 2) => √(1 - cosθ) = √2|sin(θ/2)|
= 2rsin(Π / n)
sin(Π / n) > 0

ゆえに、
 
正n角形の1辺の長さ = 2rsin(Π / n) ... (5)

よって、正n角形の周の長さは (5)をn倍すればよいので、
 
正n角形の周の長さ = 2nrsin(Π / n) ,, ... (6)

---

ここまでで本記事の目的は達成しました。さて、「正n角形の周の長さ」を n -> ∞ にし、「正無限角形の長さ = 2Πr」になる!。。。か?。。。n -> ∞ のとき、2nr の部分は∞、sin(Π / n) の部分は0となり、パッとみ分かりません。以降で確かめます。(6)式を変形します。
 
limn->∞2nrsin(Π / n)
= limn->∞2nr(sin(Π / n) / (Π / n))(Π / n)
= limn->∞2Πr(sin(Π / n) / (Π / n))
= 2Πr ,,
limθ->0(sinθ / θ) = 1

となり、円に内接する正無限角形の周の長さがその円周の長さと一致することを確かめることができました。

---

以下余談

* formula(でTeX)使って数式書いてみた。
* 複素平面使ったけど、幾何的に解くと瞬殺なんだろうなぁ。
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