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a^b > b^a となる a と b の条件を求めよ
5 を 3回掛けるよりも、3 を 5回掛けるほうが大きい
5 × 5 × 5 = 125
3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 243

11 を 3回掛けるよりも、3 を 11回掛けるほうが大きい
11 × 11 × 11 = 1,331
3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 177,147

上記の通り、指数関数は基本的に掛ける回数側の値(指数 ; 底じゃないほう)が大きいほうが大きいと思います。
この "基本的に" と "思います" の部分を定式化するのが本記事の目的です。

表題を解く際は、a と b は自然数の範囲に限定する、など自由に設定して良いことにします。ツマラナイ答えは除外したい考えです。

JUGEMテーマ:学問・学校
---

与式を変形して、
 
a^b > b^a => log(a^b) > log(b^a)
∵A > B => logA > logB ; A, B: R, log: log_e
∴bloga > alogb

loga / a > logb / b ... (1)
∵a > 0, b > 0

ここで、(1)の両辺が同じ形であることから x に関する方程式 logx / x = const. が解ければ与題の解が得られそうですが(私はこれが)解けないためこの方程式を平面幾何学的に解くことを考えます。以下、式(2)のx-y平面上の軌跡を求めます。
 
y(x) = logx / x, x: R, x > 0 ... (2)

y'(x) = (x * (1 / x) - 1 * logx) / x^2

∴ y'(x) = (1 - logx) / x^2 ... (3)
 
y''(x) = (x^2(-1 / x) - 2x(1 - logx)) / x^4
= (-x - 2x(1 - logx)) / x^4
= (-1 - 2(1 - logx)) / x^3
= (-1 - 2 + 2logx) / x^3

∴ y''(x) = (2logx - 3) / x^3 ... (4)

ここで、
 
y = 0 => x = 1 ... (5-1)

lim[x -> +0]y = -∞ ... (5-2)
lim[x -> ∞]y = 0 ... (5-3)

y' = 0 => x = e ... (5-4)
y' > 0 => x < e ... (5-5)
y' < 0 => x > e ... (5-6)
maxy = y(e) = 1/e ... (5-7)

y'' = 0 => x = e^(3/2) = 4.48… ... (5-8)
y'' < 0 => x < e^(3/2) ... (5-9)
y'' > 0 => x > e^(3/2) ... (5-10)

さらに本問題に関係して、

y(4) = log4 / 4 = log(2^2) / 4 = 2log2 / 4 = log2 / 2

∴y(4) = y(2) = log2 / 2 ... (5-11)

(5-*)より、式(2) y = logx / x のx-y平面上の軌跡を文で書くと、
 
* (1, 0)、(2, log2/2)、(e, 1/e)、(4, log2/2) の4点を通る。 ... (6-1)
* y の最大値は、y(e) = 1/e である。 ... (6-2)
* 0 < x < e で単調増加であり、x > e で単調減少である。 ... (6-3)
* x → +0 で x = 0、x → ∞ で y = 0 に漸近する。 ... (6-4)
* 変曲点は、x = e^(3/2) = 4.48… である。 ... (6-5)
* y > 0 となるのは、x > 1 のときである。 ... (6-6)

(6-*)より、式(2) y = logx / x について次がいえる。
 
* 定数 q (0 < q < 1/e) があるとき、y = q となる x の解は2つある。 ... (7-1)
なお、q = 1/e <=> x = e である。
* x1 < x2 として、x の2つの解の組を x1, x2 とすると、1 < x1 < e and x2 > e を満たす。 ... (7-2)
* 任意の解の組 (x1_1, x2_1), (x1_2, x2_2) について、x2_1 > x2_2 <=> x1_1 < x1_2 を満たす。 ... (7-3)

ここで、式(1) loga / a > logb / b は、y(a) > y(b) を満たす a, b を求めればいいので、a > 1 の自然数に限定すれば、
 
a = 2 のとき、1 < b < 2 or b > 4
∵y(2) = y (4), maxy = y(e)
a = 3 のとき、y(p_1) = y(3) and 2 < p_1 < e を満たす p_1 が存在して、1 < b < p_1 or b > 3
maxy = y(e), y(3) > y(2), y(3) > y(4)
a = 4 のとき、1 < b < 2 or b > 4
∵y(4) = y (2), maxy = y(e)
a = N (N >= 5) のとき、y(p_1) = y(N) and 1 < p_1 < 2 を満たす p_1 が存在して、1 < b < p_1 or b > N
∵y(N) > y(N + ε) ; ε: 任意の正数

よって、
 
a >= 2、b >= 2 (a, b: N) に限定すると、与式 a^b > b^a を満たすのは

a = 2 のとき、b >= 5
a = 3 のとき、b = 2 or b >= 4
a = N (N >= 4) のとき、b >= N + 1 ,,

---

最初の疑問に戻ります。
 
a, b を2以上の自然数として、a^b と b^a とを大小比較するとき、(a, b) = (2, 3), (2, 4) を除き、b > a であれば、a^b のほうが大きい。

つまり、2^3、2^4 のたった2つを除き、指数が大きいほうが大きいってことになります!a が3以上であれば例外なく大きいことになります。

---

以下、余談です。

* 巨大数では、2 よりも 3 を比較的見ます。なぜ 3 なのか少し分かった気がします。さらに実数まで拡張すれば、3 ではなく e なのかも知れません。
* また、y(x) = logx / x において、y(4) = y(2) となることも興味深いです。さらに、maxy = y(e) であり e が 2 から 4 の間になければ恐らくこの問題は正確には解けませんでした。
* 自然数の範囲で解きましたが実数の範囲はどうなっているのかも気になります。それには実数定数Aのとき、xに関する方程式 logx / x = A を解かなければいけません。私は無理でしたがこれ解けるものなんでしょうか?
* ちなみに(7-3)まで値を制限していませんので、今回の手法でも正実数 a, b の範囲において、a^b > b^a について次のことが言えます。
** 0 < a <= 1 の場合
*** 0 < b < a のとき真であり、b >= a のとき偽である。
** 1 < a < 2 の場合
*** 0 < b < a のとき真であり、a <= b <= 4 のとき偽である。
*** b > 4 のとき真か偽か今回の手法では分からない。
** a = 2 の場合
*** 0 < b < 2, b > 4 のとき真であり、2 <= b <= 4 のとき偽である。
** 2 < a < e の場合
*** 0 < b < a, b >= 4 のとき真であり、a <= b <= e のとき偽である。
*** e < b < 4 のとき真か偽か今回の手法では分からない。
** a = e の場合
*** 0 < b < e, b > e のとき真であり、b = e のとき偽である。
** e < a < 4 の場合
*** 0 < b <= 2, b > a のとき真であり、e <= b <= a のとき偽である。
*** 2 < b < e のとき真か偽か今回の手法では分からない。
** a = 4 の場合
*** 0 < b < 2, b > 4 のとき真であり、2 <= b <= 4 のとき偽である。
** a > 4 の場合
*** 1 < b < 2 のとき真か偽か今回の手法では分からない。
*** 2 <= b <= a のとき偽であり、0 < b <= 1, b > a のとき真である。
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