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【未解決】新しい演算子を創る
「新しい演算子を創る」ってなんやねん、でしょうね。

演算子 + や × は、別に最初からあったわけではありません。一文字で表現できるし便利だから、人間が創ったわけです。演算子は、別に計算だけに用いられるとは限りません。プログラミングの世界では、a . b で、.(ドット)を名前解決演算子と定義しているものもあります。

演算子は、無限に創ることができます。ただし、その規則や特性が、めちゃくちゃであれば、価値はありません。例えば、「"A ♡ B" は、二項演算子♡によって、人間Aと人間Bが恋をしているときAを返し、そうでなければBを返す」と定義する、は面白そうですがw、"人間" や "恋をする" の定義が曖昧なことや、定義したところで応用性が見いだせないなど、あります。

本記事では、私的に数学的に意味がありそうな演算子を定義することを問題とします。以降、急激に内容が難しくなりますので、注意ください。
アッカーマン関数 は、演算子で表現すると、下記のように表示できることを アッカーマン関数(証明編)で示しました。 ※二重帰納法の使い方について、(不勉強のため)言い回しに不備があることが分かりましたが、結論は変わないので良しとします;いずれ修正します・・・

       

これを見て、どうでしょうか。規則性に気づきますか? なお、上記では数学の一般的な慣例にしたがって、冪乗の演算子、超冪の演算子(タワー表記)として表示しています。

で、規則ですが、、、ジーッと見てると、ほとんどは、

       

の形になっていることに気付きます。 この形になっていない唯一の例外は、 ですね。 のときも上記形にもっていきたい!わけです。 ここで、勝手に演算子を定義します。どんな演算子か分からないので、とりあえず、 と命名しましょう。演算子 は、次を満たすものとします。

       

さて、この 演算子がいかなるものか、を定義するのが本問題です。 わたしは、答えを持っていません。主題は、"演算子を創る" ことです。ですが、私なりにいくつかのポイントを示しておきます。

  • を除いて、その前の演算子(上述している「何らかの演算子」のとこ)の繰り返しを意味していますね。例えば、 の繰り返し、は、の繰り返し、は、の繰り返しになってます。つまり、 は、 の何らかの繰り返しと定義できれば、ベストです!
  • 深い話、分配法則 を満たすべきものなのか疑問です。つまり、与式は、2@(n+3)-3=2@n+2@3-3 が成り立つべきものなのか、ってことです。成り立っても良いし、成り立たなくても良いです。成り立つとベターですね。
  • また、10-2×3 は、10-6 であり、8×3 ではないことと同様、「演算子の優先順位」を考慮すべきです。つまり、2@(n+3)-3=2@((n+3)-3) なのか、2@(n+3)-3=(2@(n+3))-3 なのか、ということです。
  • ある適当な演算子 ? によって、Ack(m, n) = 2 ?m (n + 3) - 3 と簡潔に表現できないか夢みてます。そういうことです。
  • 深い話、数学は、「見た目の美しさ」(形式論)と、その「効果」(意味論)の高さにこだわる傾向があります。どちらかが欠けると、評価が低くなります。前者が欠けてる例は、四色定理 の最初の証明(最終的に、パソコンを使って証明した)でしょうし、後者の例は、数多あると思います(見た目は美しいが、応用性は極小みたいな定理)。
  • 深い話、そもそも、足し算を 、掛け算を、冪乗を、超冪をという風に定義したほうが悪い!みたいな、既成概念をとっぱらうことも視野に入れてよいでしょう。

  • JUGEMテーマ:学問・学校
     
    コメント
    from: kariya_mitsuru   2013/06/27 12:57 AM
    数学素人ですが・・・

    これって後者関数ですかね?

    a @ b = b + 1

    アッカーマン関数はハイパー演算子で表されてますね。

    Ack(m, n) = hyper(2, m, n + 3) - 3

    http://en.wikipedia.org/wiki/Ackermann_function
    from: 優乃   2013/06/27 7:28 PM
    kariya_mitsuruさん

    > 数学素人ですが・・・
    >
    > これって後者関数ですかね?
    >
    > a @ b = b + 1

    正確には、2 @ (n + 3) - 3 = n + 1 ですが、演算子そのものを返す後者関数かもしれません。
    即ち、@ --> + --> * --> ^ --> ↑^2 --> ↑^3 --> ... であり、+ の前者?@がどのような規則を持つのか?そもそも(エレガントな法則を)定義できるのか?に興味があります。

    > アッカーマン関数はハイパー演算子で表されてますね。
    >
    > Ack(m, n) = hyper(2, m, n + 3) - 3
    >
    > http://en.wikipedia.org/wiki/Ackermann_function

    ハイパー演算子は"加算演算子"が出発点になっています。"加算演算子"が特異点であり、その特異点をなくすもっと高度な規則を作りたい、ということです。
    from: 通りすがりの素人   2015/05/08 11:02 PM
    a@b=a+1+b*0
    とか?

    f(a,b,n+1)=a+n+1+b*n

    f(a,b,1)=a+1+b*0
    f(a,b,2)=a+2+b*1

    ・・・?
    from:   2015/07/25 2:33 PM
    a mod b=a-b[a/b]=c
    aをbで割った余りc([a]は床関数)
    a mine b=a/([a^(1/b)]^b)=c
    みたいな…余り算を拡張したっぽい演算子です。(mineに特に意味はありません。英語で「私の物」みたいな意味だったので、「自作の」という意味です。)
    aかbを固定してグラフにすると面白いですよ。
    from: $_   2015/09/10 12:00 AM
    hyper_3(a,b)=hyper_2(a)^b(a)
    つまり、

    hyper_n-1(a)^b(a)=hyper_n(a,b)
    hyper_n-1(a,a)=hyper_n^-b(a,b)

    hyper_-1(a,a)=hyper_0^-b(a,b)
    from: $_   2015/09/10 12:05 AM
    訂正.
    hyper_4(2,3)=hyper_3(2, hyper_3(2, hyper_3(2,0)))

    hyper_n(a,0)=a
    hyper_n(a,b)=hyper_n-1(a,hyper_n(a,b-1))

    hyper_n(a,b)=hyper_n-1(a)^b(0)

    hyper_-1(6,0)=hyper_0(6,1)=1
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