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階乗の値が宇宙を崩壊させるとき
業務中、アルゴリズムを考えていた同僚との次の会話から始まります。

同僚「2048の階乗の値って何ですっけ?」
私「・・・・・・・・・いや、無理だろ。宇宙が崩壊するんじゃ?w」
同僚「ですよね〜w」

実際には質問が勘違いで1から2048までの総和のことだったのですが、この「宇宙が崩壊する」とはどういうことなのか、実際に宇宙を崩壊させるために十分な階乗の値とは何なのかをこの記事では書いてみます。
時間を度外視すれば書けない数なんて存在しないとお思いでしょうが、数が超巨大になってくると物質的にどうやっても原理的に書けない数というものが存在してきます。現在分かっている観測可能な宇宙に存在する原子の総数はたかだか1081個(82桁の数)を超えませんので十進法表記において原子一個で一桁記述できたとしても、1081桁以上の数は原理的に書くことができません。

ここで、数学的に「5!」は「5の階乗」と読み1から5までを掛けた数、すなわち、5!=1×2×3×4×5=120を表します。階乗の値はその数が大きくなるにつれて急激に大きくなります。順に書いていくと、

  1! = 1
  2! = 2×1! = 2
  3! = 3×2! = 6
  4! = 4×3! = 24
  5! = 5×4! = 120
  6! = 6×5! = 720
  7! = 7×6! = 5040
  8! = 8×7! = 40320
  9! = 9×8! = 362880
  10! = 10×9! = 3628800
  11! = 11×10! = 39916800
  12! = 12×11! = 479001600
  13! = 13×12! = 6227020800
  14! = 14×13! = 87178291200
  15! = 15×14! = 1307674368000
  16! = 16×15! = 20922789888000
  17! = 17×16! = 355687428096000
  18! = 18×17! = 6402373705728000
  19! = 19×18! = 121645100408832000
  20! = 20×19! = 2432902008176640000
  ・・・

となり20! でこの値ですので100! ともなれば普通のパソコンでは正確に計算できない値になります。

以下では階乗を一般的にとするときこの階乗の値が物質量の限界により原理的に書けない値になる、すなわちの値が1081桁を越えるの値はいくらかを求めます。読む前に適当に想像してみてください。私は一兆の階乗くらいかな、とか思ってました。



高校で習うと思いますが十進法表記におけるある数の桁数は常用対数関数を使い次のようになります。
の桁数 ・・・(1)
これを用いればの桁数は、
の桁数 ・・・(2)
となり原理的に書けない値はこの値が1081を越えるところなので、
・・・(3)
を満たす最小のを求めれば良いことになります。右辺の1081は宇宙の原子の総数ですがそこから1を引いても結果には影響しませんので次の式で考えます。
・・・(4)
ちょっと余談ですが左辺の対数をとると、
となり感覚を掴むためにこれを展開すると以下となります。
もちろん右辺を更に展開することはできません。本題に示すように宇宙が崩壊しますw



さて(4)を解きますがの値はが大きくなると急激に大きくなるためそのままでコンピュータに計算させることはできません。(4)を変形した次の式、
であっても左辺をコンピュータで計算させてみれば分かりますが、を10000にしたときでも左辺は35,660程度にしかならず、1081(=1,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000)までは計算が終わるまでに何年かかるか分かりません。



ということでスターリングの近似式を使います。これを(4)に代入すれば、
・・・(5)
右辺のを誤差と考えれば、
・・・(6)
自然対数関数で表示すれば、
・・・(7)
ゆえに
・・・(8)
よってこの式をについて解けば良いのですが数学的な操作では、(多分)解けません。ここで数値計算に頼ります。
・・・(9)
とおくと、
・・・(10)
となり、ニュートン法の式に代入して多倍長演算可能なソフトで解くと次の解を得ます。
・・・(11)



よって「少なくとも1080! の値は原子一個で一桁を表現できたとしても十進法表記では表すことができない。」ことになります。一無量大数が1068ですので、1080は一無量大数を一兆倍した数になります。階乗は大概大きな数を得ますが宇宙恐るべし、ですね。
コメント
from: げなてん 鴨林 豊   2011/04/23 2:12 PM
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