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ロープを引き上げる方程式
地球上にロープを一周させたあと、地球の半径が1メートル大きくなっても、ロープは、予想に反して、6メートル(2πメートル)しか伸びない。つまり、ロープの長さの変化は、元の大きさに依存せず、空き缶でも太陽でも一定である。

これを考えていた大学時代の同期が、次のようなことを言いました。

「元の大きさどころか、その形状にも依存せず、1メートル引き上げたとき、ロープの変化は、2πなんじゃないか。」

確かに、正四角形に一周しているロープを想像してみると、ロープは引き上げ方によっては、角に四分の一円を4つ作ります。

な〜んとなく正ほにゃらら角形では、うまく行きそうですが、その角の部分の定式化が可能なのかが、怪しいです

 ってな話を、腹囲と腹の厚み、でしました。

この記事では、次のアプローチでこれを考えます。

ある図形があるとき、その上で球をゴロゴロころがし、その球の中心の軌跡がどうなるかを求め、そして、ゴロゴロころがった距離は、いくらかを求めます。

これで、任意の曲線に対し、ロープを引き上げたときの曲線の方程式と、そのロープの長さが分かるはずです。記事の最後に楕円図形で例題を出しています。

※これ以降、いきなり内容が難しくなるので、数学恐怖症の人は、読まないで下さい。
xy平面上の曲線は、媒介変数を用いて、次のように表現されるものとする。また、曲線上の点に接する半径の円があり、その円の中心をとし、点が動くとき、点の軌跡がつくる曲線をとする。

上記において、まずを求めることを考えるが、点および点の関係について、ベクトルを用いれば、次のように表すことができる。
・・・(1)
ここで、曲線と円との接線について、一般的に接線の傾きは、以下に示す関係がある。
・・・(2)
よって、この接線の傾きをもつベクトルの一つは、以下である。
・・・(3)
さらに、(3)のベクトルに垂直なベクトルの一つは、「直交するベクトル同士の内積は0」の関係を用いれば、以下となる。
・・・(4)
よって、円の半径=の大きさ=、および、円は曲線の両側に存在できる、ことに注意すれば、
・・・(5)
右辺にを掛けて、整理すると、
・・・(6)
ゆえに、(1)は、
・・・(7)
※複合同順・・・(8)


ここまでで、点を求めることができた。次に、曲線の長さと、点の軌跡の曲線の長さ、について考える。一般的に、曲線の長さについて、以下が成り立つ。
・・・(9)
上記の関係を用いれば、における曲線の長さと、曲線の長さとの差は、以下となる。
・・・(10)
ここから、(10)を求めるため、ひたすら、(8)を計算する。(8)を微分して、
・・・(11)
整理して、
・・・(12)
(10)に(12)を代入して、

ゆえに、における曲線の長さと、曲線の長さとの差は、
・・・(13)

例題

媒介変数、および正数を用いて以下のように表されるxy平面上の楕円がある。また、楕円上の点に外接する半径の円があり、その円の中心をとする。が楕円を1周するとき、の軌跡の長さとの軌跡の長さの差を求めよ。


まず、は、(8)に与式を代入して、整理すれば、
※複合同順
となり、円が楕円に外接するためには、符号は+をとれば良いことが分かる。(12)のに与式を代入して、整理すれば、

ゆえに、(13)のに与式および、上記を代入して、

ここで、楕円の離心率を用いれば、

これは、「積分: 1 / (1 - a^2(cos(x))^2)」より、解けて、

ここで、与題には、“が楕円を1周するとき、” とあり、の軌跡の長さとの軌跡の長さの差は、楕円図形の対称性より、としたときの4倍の値である。よって、



(最後の極限操作は、かなり怪しいですが、)結果を見る限り、Rは、ロープの引き上げ量ですから、楕円については、2π説が成り立つことが分かります。

つぶやき:
・久し振りに飯も食わずに、24時間ぶっ通しで、数学やった。途中で異常な頭痛に襲われた(コワス
・一般的に楕円の弧長が求められないことを知った。→ 楕円積分

関連記事:
腹囲と腹の厚み
積分: 1 / (1 - a^2(cos(x))^2)

参考:
法線ベクトル、曲線の長さ、難しい積分、極限 - 難関大学への数学
積分公式 (PDF)
楕円@wikipedia

変更履歴:
2011/01/16 積分範囲が間違っていたのを修正。
コメント
from: キモイ同期   2011/01/10 11:17 PM
すばらしい!!

計算はごめんなさいだが、
答えがシンプルだ。
やっぱりでかさは関係ないんだね。

直感はたよりにならんというのもわかった。

aがbにくらべてとても小さかったら8nとかにもなっちゃう!?

from: 優乃   2011/01/11 12:29 AM
To: キモイ同期
そうね。最後の式を見る限り、大きさではなく、離心率(aとbの比)に依存している模様。

> aがbにくらべてとても小さかったら8nとかにもなっちゃう!?

ならなくて、R=1とすれば、8 * arctan(b/a) が差だけど、精々4πが上限と思われる。
from: 優乃   2011/01/11 12:59 AM
To: キモイ同期
[例題] 読み返してたら、積分区間にもの凄い間違いがあることに気付いた;一旦忘れてください。
from: 優乃   2011/01/16 4:42 PM
To: キモイ同期
積分区間を見直し、記事を修正しました。

楕円で、2π説が成立した!
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