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腹囲と腹の厚み
明けましておめでとうございます。優乃です。

突然ですが、去年の健康診断で、一昨年と比べて腹囲が、6センチも増えていたことが分かりました。まだ、メタボリックとは認定されていません(キリッ 時間の問題です(キリッ さて、腹囲は、その名の通り、“腹の周り”ですから、腹そのものの厚みが何センチ増したかは教えてくれません。これが分かることで、腹の脂肪的なものが何センチ厚みを増したが分かるかも知れないわけです。

この記事で明らかにするのは、健康診断で調べられた「腹囲の増加分は、腹の厚みの増加分にすると、どの程度なんだろう」ということです。

例えば、腹囲が3センチ増えていたとき、横から見たときの厚み(腹の厚み)が3センチ増えていたら、ちょっとショックでしょう。そんなことはないはずです(と、信じたい)。

結論から書くと次の関係が得られます。

腹囲の増加値を3で割った値が、横から見たときの腹の厚みの増加値

ということで、腹囲が6センチ増えた私は、腹の厚みが2センチ増えたってことです。
複雑なことを考えなければ、この関係の導出は簡単です。先ず、腹を“円”と考えます。すると、半径がrの腹の腹囲は、2πrです。腹囲がa増えたとしましょう。腹囲の増分(半径)をxとすれば、腹囲の差がaですから、次の式が得られます。

  2π(r + x) - 2πr = a

  ゆえに、2πx = a

  よって、x = a / 2π

ゆとり教育に従って、円周率 π ≒ 3 とし、xを直径にすれば、上関係が得られます。導出されたこの式は、次の問題の意外な答えを得ます。ちなみに地球の円周は、約4万キロですw。

  「地球をぐるーっと一周させたロープがあります。このロープを1メートル引き上げるとき、ロープは何メートル伸びる、でしょうか?」

問題を形式的に書けば、「地球の半径が1メートル増えるとき、円周は何メートル増える、でしょうか?」です。

答えは、約6メートル(※[Ctrl]+[A])です。

これは、地球の半径をrとすれば、半径の増分は1ですから、2π(r + 1) - 2πr から簡単に導くことができます。さて、この式中に現れるrは打ち消されていますので、つまり、円周の増分がその大きさに依存せず、野球ボールでも、太陽でも、同じ結果になることが分かります。

以降の記事は、未解決です。

この“大きさに依存せず、2π”というのは、球(円)だけなのでしょうか。三角形でも、四角形でも、任意の図形でも2πになるのでは、と考えた大学の同期がいました。こんな話を忘年会にしてる僕たちってキモいですね、えぇえぇ。そのときは、私も2πになりそうな気がしていましたが、簡単なケースで三角形だけを考えても、ロープを1だけ引き上げることの図形的な定義が美しくなく、曖昧になります。それは、不連続であることに起因します。

円や楕円など、“閉じていて”かつ“連続である”図形で、1だけ引き上げた状態を考えることは、それほど難しくありません。計算途中ではありますが、どうやら2πではなさそうですが、この話は、長くなりますので、また気が向いたときに。
コメント
from: キモイ同期   2011/01/10 1:44 AM
M角形での増分は辺と平行でない部分。
つまり頂点周りの円弧。
この円弧の内角の総和は、

M角形の外角の和が180(M+2)で、
円弧でない部分の角度の総和が(90+90)Mだから

180(M+2) - (90+90)M = 360

ということで増分は2Nだと思うけどどうだろう。
楕円もおんなじだべ。

from: モーちゃん   2011/01/10 10:08 AM

寝てるだけOK、って時点でもう最高すぎるわww
何もしなくてもあっちが勝手に楽しんでるし!
オレも気持ち良くなれるから、これマジでサイコーだ!
http://eprliz6.chun.qawsed.info/
from: 優乃   2011/01/11 12:02 AM
To: キモイ同期
その定義に従えば、2πになると思う。例えば、↓辺り使えば、代数的に証明できると思う。
http://blog.graviness.com/?eid=853060

楕円については、接線に垂直な長さ1の点の軌跡、という考えのもと定式化するとき、成り立たなかった↓
http://blog.graviness.com/?eid=949237
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