一生かけてかぞえられる数はいくつまで？
私には、本当に暇になると、数学の問題を創って、それを解くという趣味・思考・試行・嗜好があります。正月の、帰省先の実家から自宅までの移動の8時間が本当に暇な時間です。早く九州の東側にも新幹線通らないかと思っています。
さて、数を 1 から、いち、に、さん、し・・・とかぞえ続けたら、死ぬまでにいくつまでかぞえられるのでしょうか？はい、どうでもいいことで、生活には一切役に立たないことは承知の上での頭の体操です。
結論から書きます。私調べでは、約10億との答えが出ました。
これを求めるに当たってのポイントは、1、2、3・・・と最初は勢いよくかぞえられますが、12345 など数が大きくなるにつれて段々とかぞえる速さが減速していくところです。
以下では、次を定式化します。まず、ある数をかぞえるのにどのくらいの時間がかかるのかを求め、その次に 1 から数えて、ある数まで到達するのにどのくらいの時間がかかるのかを求めます。
さて、数を 1 から、いち、に、さん、し・・・とかぞえ続けたら、死ぬまでにいくつまでかぞえられるのでしょうか？はい、どうでもいいことで、生活には一切役に立たないことは承知の上での頭の体操です。
結論から書きます。私調べでは、約10億との答えが出ました。
これを求めるに当たってのポイントは、1、2、3・・・と最初は勢いよくかぞえられますが、12345 など数が大きくなるにつれて段々とかぞえる速さが減速していくところです。
以下では、次を定式化します。まず、ある数をかぞえるのにどのくらいの時間がかかるのかを求め、その次に 1 から数えて、ある数まで到達するのにどのくらいの時間がかかるのかを求めます。
まず、かぞえ方が問題になります。10進数でかぞえるのは良いとして、次のようにかぞえるものとします。2桁以上になったときに注目です。
いち(1)、に(2)、さん(3)、し(4)、ご(5)、ろく(6)、なな(7)、はち(8)、く(9)、いちぜろ(10)、いちいち(11)、いちに(12)、いちさん(13)、いちよん(14)、いちご(15)、いちろく(16)・・・
つまり、“10”は、“いちぜろ”のように、“いち”と“ぜろ”の並びであるとします。どのようにかぞえようと人の勝手です（ｷﾘｯ 100は“いちぜろぜろ”と言うよりも、“ひゃく”と言ったほうが早いと思うあなた、“12345”を“いちまんにせんさんびゃくよんじゅうご”と言うよりも“いちにさんしご”と言ったほうが早いです。兎に角、数は、数字の並びであるとし、“123”は“ひゃくにじゅうさん”ではなく、“いちにさん”とするのです。ここで、“ぜろ”を“れい”とかぞえたり、“よん”を“し”とかぞえても良いですが、特に問題にはなりません。個々の数字の読み方については、これらを定数化します。
以下では、上記条件で、ある数を発し終わるのにどのくらいの時間がかかるのかを求めます。
「横軸に数、縦軸にその数をかぞえ終わるまでに要する時間のグラフ」がすぐに想像できればいいのですが、いきなりは難しいです。少し考えれば分かるのは、桁数が変わるタイミングで、グラフが連続ではなくなることでしょう。1, 2, 3・・・, 9 ⇒ 10, 11, 12, ・・・, 99 ⇒ 100, 101, ・・・というように、桁上がりのポイントで数字の個数が変わり、発する数字の個数も変わります。大体ですが、以下のようなグラフになります。
ここで以下を定義します。
“0”を発するのに要する時間：t0
“1”を発するのに要する時間：t1
“2”を発するのに要する時間：t2
“3”を発するのに要する時間：t3
“4”を発するのに要する時間：t4
“5”を発するのに要する時間：t5
“6”を発するのに要する時間：t6
“7”を発するのに要する時間：t7
“8”を発するのに要する時間：t8
“9”を発するのに要する時間：t9
例として、上記を用いれば、“10”を発するのに要する時間は、“いちぜろ”なので、t1 + t0、“12345”を発するのに要する時間は、“いちにさんしご”なので、t1 + t2 + t3 + t4 + t5 となります。
さて、桁数が変わるタイミングで性質が変わると書きました。以下では、1〜9、10〜99、100〜999、・・・で別々に考えます。
ここで、1〜9 を全てかぞえ終わるのに要する時間は、全部足せば良いので、
t1 + t2 + t3 + t4 + t5 + t6 + t7 + t8 + t9
となります。つまり、1〜9 に限定すれば、一つの数を発するのに要する時間の平均は、9で割って、以下となります。
(t1 + t2 + t3 + t4 + t5 + t6 + t7 + t8 + t9) / 9
次に、10〜99 を全て数え終わるのに要する時間は、全部足せば良いので、(t1 + t0) + (t1 + t1) + (t1 + t2) + (t1 + t3) + ・・・となり、まとめると
10 * (t1 + t2 + t3 + t4 + t5 + t6 + t7 + t8 + t9) + 9 * (t0 + t1 + t2 + t3 + t4 + t5 + t6 + t7 + t8 + t9)
となります。つまり、10〜99 に限定すれば、一つの数を発するのに要する時間の平均は、90で割って、以下となります。
(t1 + t2 + t3 + t4 + t5 + t6 + t7 + t8 + t9) / 9 + (t0 + t1 + t2 + t3 + t4 + t5 + t6 + t7 + t8 + t9) / 10
同様にして、N を 0 以上の整数として、10N〜10N+1-1 において、一つの数を発するのに要する時間の平均は、以下となります。
(t1 + t2 + t3 + t4 + t5 + t6 + t7 + t8 + t9) / 9 + N * (t0 + t1 + t2 + t3 + t4 + t5 + t6 + t7 + t8 + t9) / 10
さて、上記をもとに「横軸に数字、縦軸にその数字を発するのに要する時間の平均」のグラフは以下となります。
このグラフをもとに、ある数 n を発するのに要する時間 tn が求められます。
tn = k1 * |log(n)| + k2
k1 = (t0 + t1 + t2 + t3 + t4 + t5 + t6 + t7 + t8 + t9) / 10
k2 = (t1 + t2 + t3 + t4 + t5 + t6 + t7 + t8 + t9) / 9
ただし、log は、常用対数（底10）を表し、|…|は、床関数を表す。
上記を捕捉すると、k1 は、0から9をサンプリング数字として、各数を発する平均の時間、k2 は、1から9をサンプリング数字として、各数を発する平均の時間になります。
上記までで、ある数を発するのに要する時間が求められました。次に、1からかぞえてある数を発し終わるまでの時間を求めますが、それは「最後の数までを発するのに要した時間の累積」であることは分かると思います。つまり、1 から数えて n までかぞえ終えたときに要した時間は以下となります。
Sn = ��[i = 1, n]ti = ∫[1, n]txdx
途中の式は省きますが、(直感的なものを含む)以下を利用すれば、
∫[0, a]|x|dx = (|a| / 2) * (2a - |a| -1)
��[i = 0, n]ri = (1 - rn + 1) / (1 - r)
1 からかぞえて、ある数 n を発し終わるまでの時間 Sn は以下となります。
Sn = ��[i = 1, n]ti = n(k1|log(n)| + k2) + (10k1 / 9)(1 - 10|log(n)|)
以上で、定式化は終わりです。k1、k2 は、人によって変わりますので、私は、0.25 秒として、10歳から数えたとき、10億まで到達するのに70年かかることが分かります。下にグラフを書いてみました。
ちなみに最初の一時間でかぞえられる数は、3,870。最初の一日でかぞえられる数は、71,300。最初の一年でかぞえられる数は、17,200,000 です。あと、もちろん寝る時間なんて考えてないですし、食べる時間も考えていません。黙々と数えることを前提にしています。
【補遺】
・かぞえ方は良いとして、このブログでは平均を使用しました。厳密に tn を求めたらどうなるのでしょうか？
・数学的なところと物理的なところと直感的なところが混じってます。定義できるのか分かりませんが、∫[0, a]|x|dx は、どうなるのでしょうか？
・Sn = ��[i = 1, n]ti から、最終的な式を導くのも総合的な数学の能力が求められますので、面白いです。普通科の高校の知識で解けますので是非挑戦してみて下さい。
いち(1)、に(2)、さん(3)、し(4)、ご(5)、ろく(6)、なな(7)、はち(8)、く(9)、いちぜろ(10)、いちいち(11)、いちに(12)、いちさん(13)、いちよん(14)、いちご(15)、いちろく(16)・・・
つまり、“10”は、“いちぜろ”のように、“いち”と“ぜろ”の並びであるとします。どのようにかぞえようと人の勝手です（ｷﾘｯ 100は“いちぜろぜろ”と言うよりも、“ひゃく”と言ったほうが早いと思うあなた、“12345”を“いちまんにせんさんびゃくよんじゅうご”と言うよりも“いちにさんしご”と言ったほうが早いです。兎に角、数は、数字の並びであるとし、“123”は“ひゃくにじゅうさん”ではなく、“いちにさん”とするのです。ここで、“ぜろ”を“れい”とかぞえたり、“よん”を“し”とかぞえても良いですが、特に問題にはなりません。個々の数字の読み方については、これらを定数化します。
以下では、上記条件で、ある数を発し終わるのにどのくらいの時間がかかるのかを求めます。
「横軸に数、縦軸にその数をかぞえ終わるまでに要する時間のグラフ」がすぐに想像できればいいのですが、いきなりは難しいです。少し考えれば分かるのは、桁数が変わるタイミングで、グラフが連続ではなくなることでしょう。1, 2, 3・・・, 9 ⇒ 10, 11, 12, ・・・, 99 ⇒ 100, 101, ・・・というように、桁上がりのポイントで数字の個数が変わり、発する数字の個数も変わります。大体ですが、以下のようなグラフになります。
ここで以下を定義します。
“0”を発するのに要する時間：t0
“1”を発するのに要する時間：t1
“2”を発するのに要する時間：t2
“3”を発するのに要する時間：t3
“4”を発するのに要する時間：t4
“5”を発するのに要する時間：t5
“6”を発するのに要する時間：t6
“7”を発するのに要する時間：t7
“8”を発するのに要する時間：t8
“9”を発するのに要する時間：t9
例として、上記を用いれば、“10”を発するのに要する時間は、“いちぜろ”なので、t1 + t0、“12345”を発するのに要する時間は、“いちにさんしご”なので、t1 + t2 + t3 + t4 + t5 となります。
さて、桁数が変わるタイミングで性質が変わると書きました。以下では、1〜9、10〜99、100〜999、・・・で別々に考えます。
ここで、1〜9 を全てかぞえ終わるのに要する時間は、全部足せば良いので、
t1 + t2 + t3 + t4 + t5 + t6 + t7 + t8 + t9
となります。つまり、1〜9 に限定すれば、一つの数を発するのに要する時間の平均は、9で割って、以下となります。
(t1 + t2 + t3 + t4 + t5 + t6 + t7 + t8 + t9) / 9
次に、10〜99 を全て数え終わるのに要する時間は、全部足せば良いので、(t1 + t0) + (t1 + t1) + (t1 + t2) + (t1 + t3) + ・・・となり、まとめると
10 * (t1 + t2 + t3 + t4 + t5 + t6 + t7 + t8 + t9) + 9 * (t0 + t1 + t2 + t3 + t4 + t5 + t6 + t7 + t8 + t9)
となります。つまり、10〜99 に限定すれば、一つの数を発するのに要する時間の平均は、90で割って、以下となります。
(t1 + t2 + t3 + t4 + t5 + t6 + t7 + t8 + t9) / 9 + (t0 + t1 + t2 + t3 + t4 + t5 + t6 + t7 + t8 + t9) / 10
同様にして、N を 0 以上の整数として、10N〜10N+1-1 において、一つの数を発するのに要する時間の平均は、以下となります。
(t1 + t2 + t3 + t4 + t5 + t6 + t7 + t8 + t9) / 9 + N * (t0 + t1 + t2 + t3 + t4 + t5 + t6 + t7 + t8 + t9) / 10
さて、上記をもとに「横軸に数字、縦軸にその数字を発するのに要する時間の平均」のグラフは以下となります。
このグラフをもとに、ある数 n を発するのに要する時間 tn が求められます。
tn = k1 * |log(n)| + k2
k1 = (t0 + t1 + t2 + t3 + t4 + t5 + t6 + t7 + t8 + t9) / 10
k2 = (t1 + t2 + t3 + t4 + t5 + t6 + t7 + t8 + t9) / 9
ただし、log は、常用対数（底10）を表し、|…|は、床関数を表す。
上記を捕捉すると、k1 は、0から9をサンプリング数字として、各数を発する平均の時間、k2 は、1から9をサンプリング数字として、各数を発する平均の時間になります。
上記までで、ある数を発するのに要する時間が求められました。次に、1からかぞえてある数を発し終わるまでの時間を求めますが、それは「最後の数までを発するのに要した時間の累積」であることは分かると思います。つまり、1 から数えて n までかぞえ終えたときに要した時間は以下となります。
Sn = ��[i = 1, n]ti = ∫[1, n]txdx
途中の式は省きますが、(直感的なものを含む)以下を利用すれば、
∫[0, a]|x|dx = (|a| / 2) * (2a - |a| -1)
��[i = 0, n]ri = (1 - rn + 1) / (1 - r)
1 からかぞえて、ある数 n を発し終わるまでの時間 Sn は以下となります。
Sn = ��[i = 1, n]ti = n(k1|log(n)| + k2) + (10k1 / 9)(1 - 10|log(n)|)
以上で、定式化は終わりです。k1、k2 は、人によって変わりますので、私は、0.25 秒として、10歳から数えたとき、10億まで到達するのに70年かかることが分かります。下にグラフを書いてみました。
ちなみに最初の一時間でかぞえられる数は、3,870。最初の一日でかぞえられる数は、71,300。最初の一年でかぞえられる数は、17,200,000 です。あと、もちろん寝る時間なんて考えてないですし、食べる時間も考えていません。黙々と数えることを前提にしています。
【補遺】
・かぞえ方は良いとして、このブログでは平均を使用しました。厳密に tn を求めたらどうなるのでしょうか？
・数学的なところと物理的なところと直感的なところが混じってます。定義できるのか分かりませんが、∫[0, a]|x|dx は、どうなるのでしょうか？
・Sn = ��[i = 1, n]ti から、最終的な式を導くのも総合的な数学の能力が求められますので、面白いです。普通科の高校の知識で解けますので是非挑戦してみて下さい。
16進ならどれくらいいきますか？
16億くらいですか？
S_n = ��[i = 1, n]t_i = ∫[1, n]t_x dx
t_n = k1 * |log_16(n)| + k2
k1 = (t_0 + t_1 + t_2 + t_3 + t_4 + t_5 + t_6 + t_7 + t_8 + t_9 + t_A + t_B + t_C + t_D + t_E + t_F) / 16
k2 = (t_1 + t_2 + t_3 + t_4 + t_5 + t_6 + t_7 + t_8 + t_9 + t_A + t_B + t_C + t_D + t_E + t_F) / 15