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人間が一生かけて数えることができる数はいくつまで?
私には、本当に暇になると数学の問題を創ってそれを解くという趣味・思考・試行・嗜好があります。正月の帰省先の実家から自宅までの移動の8時間が本当に暇な時間です(早く九州の東側にも新幹線通らないかと思っています)。

さて、数を 1 から、"いち"、"に"、"さん"、"し"・・・と数え続けたらいくつまで数えられるのでしょうか?はい、どうでもいいことで生活には一切役に立たないことは承知の上での頭の体操です。

結論から書きます。私調べでは、約10億 との答えが出ました。

これを数学的に求めるに当たってのポイントは、1、2、3・・・ と最初は勢いよく数えることができますが、35412、35413、35414・・・ など数が大きくなるにつれて段々と数えることができる速さが減速していくところです。

以下では次を定式化します。まず、ある数を数えるのにどのくらいの時間が掛かるのかを求め、その次に、1 から数えて、ある数まで数えるのにどのくらいの時間が掛かるのかを求めます。
まず数え方が問題になります。10進数で数えるのは良いとして次のように数えるものとします。2桁以上になったときに注目です。

いち(1)、に(2)、さん(3)、し(4)、ご(5)、ろく(6)、なな(7)、はち(8)、く(9)、いちぜろ(10)、いちいち(11)、いちに(12)、いちさん(13)、いちよん(14)、いちご(15)、いちろく(16)・・・

つまり、“10” は “いちぜろ” のように、“いち” と “ぜろ” の並びであるとします。どのように数えようと人の勝手です(キリッ

100 は “いちぜろぜろ” と言うよりも “ひゃく” と数えたほうが早いと思うあなた、“35412” を “さんまんごせんよんひゃくじゅうに” と言うよりも “さんごよんいちに” と数えたほうが早いです。とにかく、数は数字の並びである とし、“354” は “さんびゃくごじゅうよん” ではなく、“さんごよん” とするのです。ここで、“ぜろ” を “れい” とかぞえたり、“よん” を “し” と数えても良いですが特に問題にはなりません。個々の数字の読み方についてはこれらを人に合わせて変数化します。

以下では上記条件のもと、ある数を発し終わるのにどのくらいの時間が掛かるのかを求めます。

「横軸に数、縦軸にその数を数え終わるまでに要する時間のグラフ」がすぐに想像できればいいのですが、いきなりは難しいです。少し考えれば分かるのは桁数が変わるタイミングでグラフが途切れることでしょう。1, 2, 3・・・, 9 ⇒ 10, 11, 12, ・・・, 99 ⇒ 100, 101, ・・・ というように桁上がりのポイントで数字の個数が変わり、発する数字の個数も変わります。大体ですが以下のようなグラフになります。



ここで、以下を定義します。

  “0” を発するのに要する時間: t0
  “1” を発するのに要する時間: t1
  “2” を発するのに要する時間: t2
  “3” を発するのに要する時間: t3
  “4” を発するのに要する時間: t4
  “5” を発するのに要する時間: t5
  “6” を発するのに要する時間: t6
  “7” を発するのに要する時間: t7
  “8” を発するのに要する時間: t8
  “9” を発するのに要する時間: t9

例として上記を用いれば、“10” を発するのに要する時間は “いちぜろ” なので t1 + t0、“35412” を発するのに要する時間は “さんごよんいちに” なので t3 + t5 + t4 + t1 + t2 となります。

さて、桁数が変わるタイミングで性質が変わると書きました。以下では、1〜9、10〜99、100〜999、・・・ で別々に考えます。

ここで、1〜9 を全て数え終わるのに要する時間は全部足せば良いので、

  t1 + t2 + t3 + t4 + t5 + t6 + t7 + t8 + t9

となります。つまり 1〜9 に限定すれば一つの数を発するのに要する時間の平均は 9 で割って以下となります。

  (t1 + t2 + t3 + t4 + t5 + t6 + t7 + t8 + t9) / 9

次に 10〜99 を全て数え終わるのに要する時間は全部足せば良いので、(t1 + t0) + (t1 + t1) + (t1 + t2) + (t1 + t3) + ・・・となりまとめると

  10 * (t1 + t2 + t3 + t4 + t5 + t6 + t7 + t8 + t9) + 9 * (t0 + t1 + t2 + t3 + t4 + t5 + t6 + t7 + t8 + t9)

となります。つまり 10〜99 に限定すれば一つの数を発するのに要する時間の平均は 90 で割って以下となります。

  (t1 + t2 + t3 + t4 + t5 + t6 + t7 + t8 + t9) / 9 + (t0 + t1 + t2 + t3 + t4 + t5 + t6 + t7 + t8 + t9) / 10

同様にして、n を 0 以上の整数として 10n〜10n+1-1 において一つの数を発するのに要する時間の平均は以下となります。

  (t1 + t2 + t3 + t4 + t5 + t6 + t7 + t8 + t9) / 9 + n * (t0 + t1 + t2 + t3 + t4 + t5 + t6 + t7 + t8 + t9) / 10

上記をもとに「横軸に数字、縦軸にその桁数の数字を発するのに要する時間の平均」のグラフは以下となります。



このグラフをもとに、ある数 n を発するのに要する時間 tn が求められます。

  tn = k1 * |log(n)| + k2

  k1 = (t0 + t1 + t2 + t3 + t4 + t5 + t6 + t7 + t8 + t9) / 10
  k2 = (t1 + t2 + t3 + t4 + t5 + t6 + t7 + t8 + t9) / 9

  ただし、log は常用対数(底10)を表し、|…| は床関数を表す。

上記を補足すると、k1 は 0から9 をサンプリング数字として各数を発する平均の時間、k2 は 1から9 をサンプリング数字として各数を発する平均の時間になります。

上記までで、ある数を発するのに要する時間が求められました。次に1から数えて、ある数を発し終わるまでの時間を求めますが、それは「最後の数までを発するのに要した時間の総和」となることは分かると思います。つまり、1 から数えて n まで数え終えたときに要した時間は以下となります。

  Sn = ∑[i = 1, n]ti = ∫[1, n]txdx

途中の式は省きますが、(直感的なものを含む)以下を利用すれば、

  ∫[0, a]|x|dx = (|a| / 2) * (2a - |a| -1)
  ∑[i = 0, n]ri = (1 - rn + 1) / (1 - r)

となり、1 から数えて、ある数 n を発し終わるまでの時間 Sn は以下となります。

  Sn = ∑[i = 1, n]ti = n(k1|log(n)| + k2) + (10k1 / 9)(1 - 10|log(n)|)

以上で定式化は終わりです。k1、k2 は人によって変わりますので、私は 0.25秒 として、10歳から数えたとき10億まで到達するのに70年かかることが分かります。下にグラフを書いてみました。



ちなみに最初の1時間で数えられる数は 3,870。最初の1日で数えられる数は 71,300。最初の1年で数えられる数は 17,200,000 です。もちろん寝る時間なんて考えてないですし食べる時間も考えていません。黙々と数えることを前提にしています。

【補遺】
* 数え方は良いとして、このブログでは平均を使用しました。厳密に tn を求めたらどうなるのでしょうか?
* 数学的なところと物理的なところと直感的なところが混じってます。定義できるのか分かりませんが、∫[0, a]|x|dx はどうなるのでしょうか?
* Sn = ∑[i = 1, n]ti から最終的な式を導くのも総合的な数学の能力が求められますので面白いです。普通科の高校の知識で解けますので是非挑戦してみて下さい。
* "数える" がゲシュタルト崩壊しました。
コメント
from: yo   2010/02/05 12:53 AM
半年間何やってるかと思ったら、数かぞえてたのか。
16進ならどれくらいいきますか?
16億くらいですか?
from: 優乃   2010/02/07 11:24 AM
16進数のときは、以下のS_nです。解いてくださいw

S_n = [i = 1, n]t_i = ∫[1, n]t_x dx

t_n = k1 * |log_16(n)| + k2

k1 = (t_0 + t_1 + t_2 + t_3 + t_4 + t_5 + t_6 + t_7 + t_8 + t_9 + t_A + t_B + t_C + t_D + t_E + t_F) / 16
k2 = (t_1 + t_2 + t_3 + t_4 + t_5 + t_6 + t_7 + t_8 + t_9 + t_A + t_B + t_C + t_D + t_E + t_F) / 15
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