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x_(i+2) = a * x_(i+1) + b * x_i の漸化式
意外に一度も取り上げていなかった三項間の,以下の漸化式の一般項xiを求める.

  xi+2 = axi+1 + bxi

  ただし,初項を xs とし,s は0または1とする.
  また,a ≠ 0,b ≠ 0 とする.
与式を以下の形に変形する.
  xi+2 - αxi+1 = β(xi+1 - αxi) … 
展開して,まとめると,
  xi+2 = (α + β)xi+1 - αβxi
辺々を与式と比較して,
  α + β = a
  αβ = -b
対称式 であることを考慮して,これを解いて,
  α = (a + √(a2 + 4b)) / 2
  β = (a - √(a2 + 4b)) / 2
ここで,yi = xi+1 - αxi とおけば, は
  yi+1 = βyi
これは,等比数列の形なので解けて,
  yi = ysβi - s

  ∴xi+1 - αxi = ysβi-s
  xi+1 = αxi + ysβi-s
  xi+1 / βi+1 = αxi / βi+1 + ysi-s / βi+1)
  ∴xi+1 / βi+1 = (α / β)(xi / βi) + ys / β1+s … 
ここで,zi = xi / βi とおけば, は
  zi+1 = (α / β)zi + ys / β1+s … 
以下の形に変形する.
  zi+1 - γ = (α / β)(zi - γ)
よって
  zi+1 = (α / β)zi + γ(1 - α / β)
辺々を比較して
  γ(1 - α / β) = ys / β1+s … 

ここで,β - α について,
  (β - α)2 = (β + α)2 - 4αβ = a2 + 4b
  ∴β - α = ±√(a2 + 4b)

i) a2 + 4b ≠ 0 のとき
より
  γ = (1 / βs) * (ys / (β - α))
ゆえに
  zi+1 - γ = (α / β)(zi - γ)
ここで,wi = zi - γ とおけば,
  wi+1 = (α / β)wi
これは,等比数列の形なので解けて,
  wi = ws(α / β)i-s
よって
  zi - γ = (zs - γ)(α / β)i-s
ゆえに,γ = (1 / βs) * (ys / (β - α)),zi = xi / βi,yi = xi+1 - αxi を代入して整理すると
  xi = {(xs+1 - αxsi-s - (xs+1 - βxsi-s} / (β - α)

ii) a2 + 4b = 0 のとき
α = β = a / 2 であるので, は
  zi+1 = zi + ys / β1+s
これは,階差数列の形なので解けて
  zi = zs + [k = s, i-1](ys / β1+s)
  ∴zi = zs + (ys / β1+s)(i - s)
よって,zi = xi / βi,ys = xs+1 - αxs を代入して整理すると
  xi = (a / 2)i-s(xs + (2xs+1 / a - xs)(i - s))



まとめると,xi+2 = a * xi+1 + b * xi の一般項 xi は,

・a2 + 4b ≠ 0 のとき
  xi = {(xs+1 - αxsi-s - (xs+1 - βxsi-s} / (β - α)
  ただし,α,β は以下である.
    α = (a + √(a2 + 4b)) / 2
    β = (a - √(a2 + 4b)) / 2
・a2 + 4b = 0 のとき
    xi = (a / 2)i-s(xs + (2xs+1 / a - xs)(i - s))



【余談】検算していません.次は,xi+2 = axi+1 + bxi + c に挑戦.
コメント
from: アトム   2009/04/29 10:33 AM
級数・・・・癒されますな・・・。
どっかにも同じようなコメント書いたような(笑)。


冗談はさておき、優乃さん、級数すきですね。
私も好きなんですが、どちらかと言うと級数というより、無限和が絡むものとか(ζ関数とか)、級数の収束性とかそういったものの中に何か神秘を感じます。
from: 優乃   2009/05/05 11:17 PM
級数大好きです.一般化するのが好きなんですよね.一般化によって,突然現れる“何か”を見つけたときや,それが解けたときは,うれしいです.一般化に加えて,さらに無限を考えると,同じように“何か”を見つけられるのかも知れませんね♪

今思いついたこと書きますが,
無限和において,[k=1,n](1/k) (n→∞) よりも無限に収束するのが本質的に遅い関数が存在するか
が気になりました.
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