【未解決】3角形の面積の2等分線
問題：x-y座標上の △ABC において，頂点の座標を A(ax, ay), B(bx, by), C(cx, cy) とし，△ABC の面積を2等分する直線の方程式を x = k とする．k の値を求めよ．COMMENT: 一般的な答えがあるのかどうかも分からないので，注意．詰まらないケースは考えたくないのが私の考え．まずは上図のように解けそうなケースを求めてみたい．
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2009.04.08 Wednesday
問題：x-y座標上の △ABC において，頂点の座標を A(ax, ay), B(bx, by), C(cx, cy) とし，△ABC の面積を2等分する直線の方程式を x = k とする．k の値を求めよ．COMMENT: 一般的な答えがあるのかどうかも分からないので，注意．詰まらないケースは考えたくないのが私の考え．まずは上図のように解けそうなケースを求めてみたい．
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証明は略。直感的には、重心が”重さ（があるとして）の釣り合う点”であることからわかる。
題意の三角形に関して、求める直線はx=kであるから重心のx座標のみ考えて、x=(1/3)*(ax+bx+cx) となる。
それかっ！と思いましたが、次のようなことを考えると、成り立たないことが分かりました。
−−−−−
正三角形ABCの重心Gを通り、辺BCに平行な線を引き、その線と辺ABおよび辺ACと交わる点をそれぞれP、Qとする。
重心Gは、中線を2:1に分割することと（重心の性質）、△APQと△ABCは相似であることから、
△APQの面積 : △ABCの面積 = 4 : 9
よって、
△APQの面積 : 台形PBCQの面積 = 4 : (9 - 4) = 4 : 5
ゆえに、線分PQは、正三角形ABCの面積二等分線ではない。
−−−−−
代数ではなくて、幾何で考えたほうが、解けそうな気がしました。また、コメント頂ければと思います。
頂点をAx <= Bx <= Cxとなるようにおいたとき、
Ax <= Bx <= Cx/2のとき、k = Ax + Cx - (1/2) * sqrt( 2Cx (Cx - Bx) )
Cx/2 < Bx <= Cxのとき、k = Ax + (1/2) * sqrt(2) * Bx * Cx
頂点をAx <= Bx <= Cxとなるようにおき、Ax' = 0となるように平行移動したとき、
（Ax' = 0, Bx' = Bx - Ax, Cx' = Cx - Ax, k' = k - Ax）
Ax' <= Bx' <= Cx'/2のとき、k' = Cx' - (1/2) * sqrt( 2Cx' (Cx' - Bx') )
Cx'/2 < Bx' <= Cx'のとき、k' = (1/2) * sqrt(2) * Bx' * Cx'
元の位置に戻して、
Ax <= Bx <= (Ax + Cx)/2のとき、k = Cx - (1/2) * sqrt( 2(Cx - Ax)(Cx - Bx) )
(Ax + Cx)/2 < Bx <= Cxのとき、k = Ax + (1/2) * sqrt(2) * (Bx - Ax)(Cx - Ax)
酔ってます。反証しますが、嘘、書いてたらすみません。
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> Ax <= Bx <= (Ax + Cx)/2のとき、k = Cx - (1/2) * sqrt( 2(Cx - Ax)(Cx - Bx) )
Ax <= Bx <= Cxであるので、Bx = Cx とおく。
このとき、上式は、k = Cx となり、面積2等分線ではないことは、あきらか。
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平行移動して、どこかの頂点をOにしておいたほうが、無難ですね。
この図見ると、すごく積分したくなるんですよね。私は、場合分けの多さと、式の複雑さに断念しました。
女もヤりたい時ってあるんだな！！
ホテル行ったんだが、部屋に入ったとたん全裸にされちまったよ！！
まぁ俺は寝てるだけで、ずっと女が腰ふってたんだけど(笑)
７万もらって寿司までゴチになったし、最高の一日だったぜ(*￣ー￣)v
http://ray.furuban.info/hkgrt5k/
うははは！！ベッドに寝かされて全身ペロペロされちゃったぞ！！
タマとア○ルまで舐められて、鳥肌立つぐらい気持ちよかったｗｗｗｗ
こんなんでお金もらえるなら、もっとナメナメしてくだちゃい！って感じだｗｗｗ
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