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【未解決】3角形の面積の2等分線
問題:x-y座標上の △ABC において,頂点の座標を A(ax, ay), B(bx, by), C(cx, cy) とし,△ABC の面積を2等分する直線の方程式を x = k とする.k の値を求めよ.
COMMENT: 一般的な答えがあるのかどうかも分からないので,注意.詰まらないケースは考えたくないのが私の考え.まずは上図のように解けそうなケースを求めてみたい.

【関連記事】
3角形の辺のn等分線の長さ
3角形の角のn等分線の長さ
コメント
from: おらむー   2010/08/15 3:52 PM
重心を通れば良い。
証明は略。直感的には、重心が”重さ(があるとして)の釣り合う点”であることからわかる。

題意の三角形に関して、求める直線はx=kであるから重心のx座標のみ考えて、x=(1/3)*(ax+bx+cx) となる。
from: 優乃   2010/08/16 12:38 AM
おらむーさん、はじめまして。

それかっ!と思いましたが、次のようなことを考えると、成り立たないことが分かりました。

−−−−−

正三角形ABCの重心Gを通り、辺BCに平行な線を引き、その線と辺ABおよび辺ACと交わる点をそれぞれP、Qとする。

重心Gは、中線を2:1に分割することと(重心の性質)、△APQと△ABCは相似であることから、
  △APQの面積 : △ABCの面積 = 4 : 9
よって、
  △APQの面積 : 台形PBCQの面積 = 4 : (9 - 4) = 4 : 5

ゆえに、線分PQは、正三角形ABCの面積二等分線ではない。

−−−−−

代数ではなくて、幾何で考えたほうが、解けそうな気がしました。また、コメント頂ければと思います。
from: ぱぺてあ   2010/08/26 11:30 PM
たぶん解けました。三点のX座標のみで定まり、Y座標は無関係になります。
頂点をAx <= Bx <= Cxとなるようにおいたとき、
Ax <= Bx <= Cx/2のとき、k = Ax + Cx - (1/2) * sqrt( 2Cx (Cx - Bx) )
Cx/2 < Bx <= Cxのとき、k = Ax + (1/2) * sqrt(2) * Bx * Cx
from: ぱぺてあ   2010/08/27 7:08 AM
勘違いしていた気がするので訂正です。
頂点をAx <= Bx <= Cxとなるようにおき、Ax' = 0となるように平行移動したとき、
(Ax' = 0, Bx' = Bx - Ax, Cx' = Cx - Ax, k' = k - Ax)
Ax' <= Bx' <= Cx'/2のとき、k' = Cx' - (1/2) * sqrt( 2Cx' (Cx' - Bx') )
Cx'/2 < Bx' <= Cx'のとき、k' = (1/2) * sqrt(2) * Bx' * Cx'
元の位置に戻して、
Ax <= Bx <= (Ax + Cx)/2のとき、k = Cx - (1/2) * sqrt( 2(Cx - Ax)(Cx - Bx) )
(Ax + Cx)/2 < Bx <= Cxのとき、k = Ax + (1/2) * sqrt(2) * (Bx - Ax)(Cx - Ax)
from: 優乃   2010/08/28 12:37 AM
はじめまして、ぱぺてあさん♪コメントありがとうございます。

酔ってます。反証しますが、嘘、書いてたらすみません。

---

> Ax <= Bx <= (Ax + Cx)/2のとき、k = Cx - (1/2) * sqrt( 2(Cx - Ax)(Cx - Bx) )

Ax <= Bx <= Cxであるので、Bx = Cx とおく。
このとき、上式は、k = Cx となり、面積2等分線ではないことは、あきらか。

---

平行移動して、どこかの頂点をOにしておいたほうが、無難ですね。

この図見ると、すごく積分したくなるんですよね。私は、場合分けの多さと、式の複雑さに断念しました。
from: kinsyo   2011/11/12 11:51 PM
C点を動かさず辺ACをXに対し垂直になるように移動する。bx=0とし、cy=0すればcxが△ABCの高さとなる。答えはk=√(cx^2×1/2)なぜそうなるかの証明は私のブログhttp://ameblo.jp/kinsyo-est/entry-11027347799.htmlから読んでいけば解るのでここでは省略します。
from: 優乃   2011/11/13 8:45 PM
To kinsyoさん

コメントありがとうございます!

ブログの内容、ひと通り読ませて頂きました。本ブログの内容とは少し異なるものの、任意の三角形に適用できる点で抽象化も十分で、かつ実用性の視点も忘れていない点について、私自身にきづきがありました。参考にさせて頂きます。ありがとうございます!
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