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3角形の辺のn等分線の長さ
問題:△ABCにおいて,各辺の長さを,BC = a, CA = b, AB = c とし,辺BCをn等分する点をBに近いほうからそれぞれ X1, X2, X3, ..., Xn-2, Xn-1 とする.このとき,辺AXk (k = 1, 2, 3, ..., n-1) の長さを a, b, c を用いて表せ.
解答:式の簡略化のため,点B を X0,点C を Xn と表記する.3等分線 のときと同様,△AX0X2, △AX1X3,△AX2X4,..., △AXn-3Xn-1,△AXn-2Xn にそれぞれ下式を適用すると,

  √(-a2 / 4 + b2 / 2 + c2 / 2)

次の連立方程式が得られる(どっかで見たことある モグモグ).

  AX12 = -X2X02 / 4 + AX22 / 2 + AX02 / 2
  AX22 = -X3X12 / 4 + AX32 / 2 + AX12 / 2
  AX32 = -X4X22 / 4 + AX42 / 2 + AX22 / 2
  ・・・
  AXn-22 = -Xn-1Xn-32 / 4 + AXn-12 / 2 + AXn-32 / 2
  AXn-12 = -XnXn-22 / 4 + AXn2 / 2 + AXn-22 / 2

さて,上式郡の(i+1)番目の式は以下である (i = 0, 1, 2, ..., n).

  AXi+12 = -Xi+2Xi2 / 4 + AXi+22 / 2 + AXi2 / 2

ここで,右辺の第一項に関して,図より,2 * (a / n) であるので,

  Xi+2Xi2 / 4 = (2 * (a / n))2 / 4 = (a / n)2

となる.ここで,AXk を xk と表記すれば,

  xi+12 = -(a / n)2 + xi+22 / 2 + xi2 / 2

となり,各項の分母をはずして整理すると,

  xi+22 = 2xi+12 - xi2 + 2(a / n)2

となる.ここで,yi = xi2 とおけば,以下のようになり,これは3項間の漸化式であるので,解ける.

  yi+2 = 2yi+1 - yi + 2(a / n)2

  yi+2 = (yi+1 + yi+1) - yi + 2(a / n)2
  ∴(yi+2 - yi+1) = (yi+1 - yi) + 2(a / n)2

ここで,zi = yi+1 - yi とおけば,

  zi+1 - zi = 2(a / n)2

これは,初項を z0 とする階差数列の形なので解けて,

  zi = z0 + [k = 0, i - 1]{2(a / n)2}
  ∴zi = z0 + 2(a / n)2i
  ∴yi+1 - yi = y1 - y0 + 2(a / n)2i

さらに,上式も初項を y0 とする階差数列の形なので,

  yi = y0 + [k = 0, i - 1]{y1 - y0 + 2(a / n)2k}
  yi = y0 + i(y1 - y0) + 2(a / n)2 * i(i - 1) / 2
  ∴yi = iy1 + (1 - i)y0 + i(i - 1)(a / n)2

ゆえに

  ∴xi2 = ix12 + (1 - i)x02 + i(i - 1)(a / n)2 ・・・ 

以下で x1 を求める. に,i = n を代入すると,

  ∴b2 = nx12 + (1 - n)c2 + n(n - 1)(a / n)2
    ∵xn = b, x0 = c
  ∴x12 = -(n - 1)(a / n)2 + (1 / n)b2 + ((n - 1) / n)c2

ゆえに, に代入して,

  xi2 = i{-(n - 1)(a / n)2 + (1 / n)b2 + ((n - 1) / n)c2} + (1 - i)c2 + i(i - 1)(a / n)2
  ∴xi2 = -i(n - i)(a / n)2 + (i / n)b2 + (1 / n) * (n - i)c2
  ∴xi2 = (1 / n2) * {-i(n - i)a2 + nib2 + n(n - i)c2}

ゆえに,答えは

  AXi = xi = (1 / n) * √{-i(n - i)a2 + nib2 + n(n - i)c2}
  i : 1, 2, 3, ..., n-1 (i = 0, n のとき,それぞれ c, b が得られる)

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3角形の角のn等分線の長さ を解いたときの知識が役に立ったニコニコ 満足!楽しかった!up おはようございます.心置きなく会社に行けます チョキ

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