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3角形の辺の3等分線の長さ
問題:△ABCにおいて,各辺の長さを,BC = a, CA = b, AB = c とし,辺BCを3等分する点をBに近いほうからそれぞれ M,N とする.このとき,辺AMおよび辺ANの長さを a, b, c を用いて表せ.
解答:2等分するときの辺の長さは,前回の解答より,以下であった.
  √(-a2 / 4 + b2 / 2 + c2 / 2)
ここで上式を △ABN に適用すると,AM が中点となるので,
  AM = √(-BN2 / 4 + AN2 / 2 + AB2 / 2) … 
が得られ,同様に △AMC に適用すれば,
  AN = √(-CM2 / 4 + CA2 / 2 + AM2 / 2) … 
が得られる.BN = (2 / 3)a, AB = c, CM = (2 / 3)a, CA = b であるので,整理すると,
  AM2 = -a2 / 9 + AN2 / 2 + c2 / 2 … '
  AN2 = -a2 / 9 + b2 / 2 + AM2 / 2 … '
これを解いて,
  AM2 = (-2a2 + 3b2 + 6c2) / 9
  AN2 = (-2a2 + 6b2 + 3c2) / 9
よって,
  AM = (1 / 3) * √(-2a2 + 3b2 + 6c2)
  AN = (1 / 3) * √(-2a2 + 6b2 + 3c2)

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さぁ,次は,n等分線に挑戦です!グー

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