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【解決】3角形の2等分線の長さ
問題:△ABCにおいて,各辺の長さを,BC = a, CA = b, AB = c とし,辺BCの中点をMとするとき,辺AMの長さを a, b, c を用いて表せ.
Comment: △ABMの面積 + △ACMの面積 = △ABCの面積 ですので,それぞれに ヘロンの公式 を用いると良さそうですが,過程で,4次方程式(もしくは8次方程式)が出てきますので,簡単には解けそうにありません.私が難しく考えすぎてるような気もします.幾何学のエロい人教えて下さい.
【2009/04/06 追記】
解答頂きました!
下記の Trackback ([数学]Re: 3角形の2等分線の長さ) に ヘロンの公式 を使用した解答と,余弦定理 を使ってシンプルに解いた,二つの方法が記載されています.答えだけ引用させて頂くと,

  AM = √(-a2 / 4 + (b2 + c2) / 2)

となります.electrolysis さん,ありがとうございました & はじめまして ラッキーマニアのための n 倍角・証明」の最後の一文 もやもやが晴れたし、これでいつでも死ねる! にクスっとさせて頂きました ニコニコ

実は,この問題,寝る直前に私も解けたのですが,一歩遅かった・・・ぐやじぃぃ モゴモゴ 補助線を書いて平行四辺形から解いたものですが,electrolysis さんの余弦定理の方法と本質的に変わりませんので,記載しません.

さて,次はいつもの通り,3等分線のケースを解いてみたいと思います.

【関連記事】
3角形の辺のn等分線の長さ
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3角形の角のn等分線の長さ
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Graviness Blog | 【未解決】3角形の2等分線の長さ 誘導(?)に従って、ヘロンの公式から解を導いてみた。 とおく。また、△ABM、△ACM の面積をとする。 まず、△ACM について。 ここで、とおく。 すると、 △ABM についても同様に、 これらから、次のような方程式を
ヨーキョクデイ | 2009/04/06 3:43 AM
 

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