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抵抗を含む物体の落下運動の運動方程式 (2)
以前,「抵抗を含む物体の落下運動の運動方程式」と題した記事を書いた(もう2年前かよ・・・).そこでは“速度に比例した抵抗”を持つ運動方程式を解き,実例として雨粒の速度を求めた.しかし,雨粒の終端速度は実値と大きく異なった(時速400キロw).

本記事では,“速度に比例した抵抗”ではなく,“速度の2乗に比例した抵抗”を考え,運動方程式を解く.(解いてみて分かりましたが,高校の数学/物理知識で十分解けます.)
落下する物体に対する(空気)抵抗が,速度の2乗に比例した力を持つものを考える.自動車学校で「速度が3倍になるとき,衝突時のエネルギーは9倍になる」と習っただろう,それと似たようなもんだ(違うよ).

モデルは次に示す図となる.パラメータの意味を以下に示す.
  t:時間 [s]
  dv/dt:加速度 [m/s2]
  v:速度 [m/s]:v = v(t)
  m:物体の質量 [kg]:正の定数
  r:空気抵抗係数 [kg/s]:正の定数
  g:重力加速度 [m/s2]:正の定数
また,鉛直上向きを正とする.

落下する物体に対し速度の2乗に比例した逆向きの力が働くので,rv2の力が加わっていることが,前回記事と異なる点だ.これらから運動方程式を導き,実際に解いてみる.

運動方程式は以下となる.(r > 0,鉛直上向きを正としていることに注意)
  m(dv/dt) = -mg + rv2 ... 
両辺をmで割る.
  dv/dt = -g + (r / m)v2
ここで,g - (r / m)v2 ≠ 0であることは,,茲衞世蕕であるので,
  ∴∫{dv / (g - (r / m)v2)} = -∫dt
  ∫{dv / ((√g - √(r / m)v)(√g - √(r / m)v))} = -∫dt
  ∴∫{1 / (√g - √(r / m)v) + 1 / (√g - √(r / m)v)}dv = -2√g∫dt
よって
  √(m / r) * (ln|√g + √(r / m)v| - ln|√g - √(r / m)v|) = -2√g * t + C1
  ※ln:自然対数,C1積分定数
ゆえに
  ln|(√g + √(r / m)v) / (√g - √(r / m)v)| = -2√(rg / m)t + √(r / m)C1
対数をはずして
  |(√g + √(r / m)v) / (√g - √(r / m)v)| = e√(r / m)C1 * e-2√(rg / m)t
  ※e:自然対数の底 (ネイピア数)
ここで,終端速度が存在し,,茲mg / r > v2であるので
  (√g + √(r / m)v) / (√g - √(r / m)v) = e√(r / m)C1 * e-2√(rg / m)t
vについて解くと
  v = -√(mg / r) * {(1 - Ae-2√(rg / m)t) / (1 + Ae-2√(rg / m)t)}
  A = e√(r / m)C1
境界条件としてv(0) = v0を与えると
  v0 = -√(mg / r) * {(1 - A) / (1 + A)}
  ∴A = -(v0 + √(mg / r)) / (v0 - √(mg / r))
よって
  v(t) = -√(mg / r) * {(1 - Ae-2√(rg / m)t) / (1 + Ae-2√(rg / m)t)}
  A = -(v0 + √(mg / r)) / (v0 - √(mg / r))
  v0 = v(0),,

以上で抵抗を含む物体の落下運動における速度が求まった.t → ∞としたときのvの値を終端速度vfという.これが地上に到達したときの落下速度となる.
  vf = |v(t → ∞)| = √(mg / r)

求めた速度の式に実際に代入してみる.(半径1mmの)水滴の落下において,前回と同様,以下のパラメータ値を使用する.
  v0 = 0 [m/s]
  m = 4.2 * 10-6 [kg] (= 4.2 [mg])
  g = 9.8 [m/s2]
  r = 3.4 * 10-7 [kg/s]
  ※参考URI:ppt05.pdf

上記v0 = 0のとき,A = 1となり,v(t)は最終的に以下となる.
  v(t) = -√(mg / r) * {(1 - e-2√(rg / m)t) / (1 + e-2√(rg / m)t)} ... 

  さらに双曲線関数を用いて表現すれば
    v(t) = -√(mg / r) * tanh(√(rg / m)t)
  となる.

△縫僖薀瓠璽臣佑鯊綟して
  |v(t)| ≒ 11 * (1 - e-1.8t) / (1 + e-1.8t)

よって

   0秒後の水滴の速さは, 0 [km/h]
   1秒後の水滴の速さは,28 [km/h]
   2秒後の水滴の速さは,37 [km/h]
   3秒後の水滴の速さは,40 [km/h]
  …
  10秒後の水滴の速さは,40 [km/h]
  …
  50秒後の水滴の速さは,40 [km/h]
  …
  地上到達時の水滴の速さ(終端速度)は,40[km/h] (= √(mg / r))

これで雨粒如きで死ぬことはなくなった.証明完(w

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