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【算数】連立方程式の解き方
先日知人から,SPI受けるんだけど連立方程式が解けないから教えて,との電話.
世の中の大人の半数は解けないだろう連立方程式.
リンゴとミカンの値段がいくらになるかなんて,それすらも日常生活で必要になることなんてない.
だけど,知ってると,ものの見方は変わる.この記事では連立方程式の解き方について真面目に書いてみる.
問題.以下の連立方程式を解け.

  X + Y = 10 … 
  X − Y = 4 … 

解け,とか偉そうなので,言い方をかえると「 と を同時に満たす X と Y の値を求めて下さい.お願い致します.」だ.

数学は誠実.ひとつひとつの式に嘘はありません.地球がなくなっても,一生嘘になることはありません.
焦るべからず.X と Y,ひとつずつ解く.まずは,二人だと話がややこしいので,X と Y の仲を裂く.何も深く考えることはない.

から Xイコールの式を作る.

  X = 10 − Y … 

左の値を右に持っていくときにプラスマイナスの符号が変わることに注意する.これについては, の両辺から Y を引くと理解しやすい.
正しい式を正しい変換で作った式も一生正しいので, の式も,アメリカ大統領が押切もえになったとしても嘘の式ではない.
仲を裂いておいて何だが,すぐにヨリを戻してあげる.俺っていい人.深く考えるな.

を に代入する.

  (10 − Y) − Y = 4
  −Y − Y = 4 − 10
  −2Y = −6
  Y = 3

別にを,紡綟してもいい.,好きか、△好きかは、好みの問題.どっちでも、Y が 3 となる.これも嘘の反対の反対じゃない.要は正しい.よって,あとはどの式でもいいので,Y に 3 を代入する.

どこでもいいけど, に代入する.多分に自虐的な人は,ほかに代入してもいい.

  X = 10 − 3
  X = 7

よって,X = 7,Y = 3 が答え.

---

問題. と を同時に満たす X と Y の値を求めて下さい.お願い致します.

  X + 2Y = 15 … 
  2X + Y = 12 … 

問題文が長くなって,めんどくさいから,もう解けでいいじゃん,とかそんな数学的な考え方.何も考えずにXイコールの式を作る.

,ら,

  X = 15 − 2Y … 

となる.もちろんこの式もシガニーウィーバーの趣味が千羽鶴だと分かったとしても成り立つ.

に代入する.(,冒沺。。代入してもいい。)

  2 × (15 − 2Y) + Y = 12
  2 × 15 − 2 × 2Y + Y = 12
  30 − 4Y + Y = 12
  −4Y + Y = 12 − 30
  −3Y = −18
  Y = 6

どこでもいいので,Y = 6 を代入する. に代入してみる.

  X = 15 − 2 × 6
  X = 15 − 12
  X = 3

よって,X = 3,Y = 6 が答え.

【応用編】

以上までが,ノーマルな解き方だが,解くのに慣れてくると人間は横着したくなる.以下のようなアブノーマルな解き方もある.性的な意味で(嘘だ

問題.以下の連立方程式を解け.

  X + Y = 10 … 
  X − Y = 4 … 

左辺は左辺同士,右辺は右辺同士,2式を全部足す.全部足すなんて豪快なことしてもやっぱり嘘の式にならない.

  X + X + Y − Y = 10 + 4
  2X = 14
  X = 7

⊆阿 −1 を掛ける.−1 とかマイナスの数を掛けても嘘にならない.ポジティブシンキング.

  X + Y = 10
  −X + Y = −4

左辺は左辺同士,右辺は右辺同士,2式を全部足す.

  X − X + Y + Y = 10 − 4
  2Y = 6
  Y = 3

よって,答えはX = 7,Y = 3.

---

問題.以下の連立方程式を解け.

  X + 2Y = 15 … 
  2X + Y = 12 … 

⊆阿 −2 を掛ける.

  X + 2Y = 15
  −4X − 2Y = −24

左辺は左辺同士,右辺は右辺同士,2式を全部足す.

  X − 4X + 2Y − 2Y = 15 − 24
  −3X = −9
  X = 3

ー阿 −2 を掛ける.

  −2X − 4Y = −30 … 
  2X + Y = 12 … 

左辺は左辺同士,右辺は右辺同士,2式を全部足す.

  −2X + 2X − 4Y + Y = −30 + 12
  −3Y = −18
  Y = 6

よって答えは,X = 3,Y = 6.

【応用編2】

数学好きの人は基本的に面倒くさがり屋が多い.もっと楽しようとする.公式を作っておく.

  公式

  aX + bY = m
  cX + dY = n
  ad − bc ≠ 0

  ならば

  X = (md − nb) ÷ (ad − bc)
  Y = (na − mc) ÷ (ad − bc)

  が成り立つ.

問題.以下の連立方程式を解け.

  X + 2Y = 15 … 
  2X + Y = 12 … 

公式を使って,a = 1, b = 2, c = 2, d = 1, m = 15, n = 12 を代入する.

  X = (15 × 1 − 12 × 2) ÷ (1 × 1 − 2 × 2)
   = (15 − 24) ÷ (1 − 4)
   = 3
  Y = (12 × 1 − 15 × 2) ÷ (1 × 1 − 2 × 2)
   = (12 − 30) ÷ (1 − 4)
   = 6

余計ややこしいから,数学者であろうとたぶん誰も覚えようとしない.見習うな.

【特別編】

パズル的に解く方法もある.

問題.以下の連立方程式を解け.

  X + 2Y = 15 … 
  2X + Y = 12 … 

係数だけ取り出して横に並べる.

  1 | 2 | 15 … 
  2 | 1 | 12 … 

これが,以下のようになれば終わり.

  1 | 0 | なんとか
  0 | 1 | かんとか

を 2倍して並べる.

  1 | 2 | 15 … 
  4 | 2 | 24 … 

から を引いて並べる.

  1 | 2 | 15 … 
  3 | 0 | 9 … 

を 3倍して並べる.

  3 | 6 | 45 … 
  3 | 0 | 9 … 

から を引いて並べる.

  0 | 6 | 36 … 
  3 | 0 | 9 … 

を 6 で割り, を 3 で割る.

  0 | 1 | 6
  1 | 0 | 3

上下を入れ替えて並べる.

  1 | 0 | 3
  0 | 1 | 6

一番右の列が答え.答えは,X = 3, Y = 6.
コメント
from: PEACE   2008/09/01 11:15 PM
久しぶりにかいてるなぁ~と思えば・・・

ちなみに俺はまだ解けたw

一応理系だし、まだまだいけると思う^^b
from: 優乃@管理   2008/09/02 12:44 AM
日本はまだ腐ってない
from: yo   2008/09/02 1:01 AM
レベルが下がってくれて、読者的にはうれしい。


ネットでふと見つけた、方程式を使わずに解けというのも以外と面白かった。以下問題。

一人に7枚づつカードを配ると10枚足りない。
一人に5枚づつカードを配ると6枚余る。
人とカードはいくら?

from: 優乃@管理   2008/09/02 8:26 AM
剰余に注目して、候補を列挙するとか???
from:   2008/09/03 12:11 AM
一人に7枚づつカードを配ると10枚足りない。
そこで10枚カードを借りてくる。
すると一人に7枚づつちょうど配ることが出来る。
そして一人に5枚づつカードを配ると16枚余る。
この16枚を一人に2枚づつ配ると7枚配ったことになるので、
ちょうど配りきれる。
よって
16/2=8(人)
8*7-10=46(枚)

ちなみに小学校の問題らしい(笑)
from: アトム   2008/09/03 10:41 AM
まじめに書いてあるんだが、あちらこちらで微妙に笑。
from: 優乃@管理   2008/09/04 9:00 AM
↑↑プロセスじゃない、結果が大事なんだ(と諭す、という大人げない負け惜しみ)

↑有余ったのは間違いないですw
from: 数学苦手な中年層   2008/10/15 4:47 PM
私もまさにこれから就職試験をうけようと決意、昨日一般常識の問題集を買ってきて、愕然!!…りんごとみかんの出し方がわからなーい!本には方程式と答えしかのってなーい!数学大っきらいだったし…(T_T)ってでもいい中年なのに、どうしよう…って思ってとりあえずネットで調べようと、お宅様の見せて頂きました。とにかくありがとうございます!解りやすかったし、面白かった(^-^)方程式、そんな怖がる事なかったみたい…って思わせて下さり、また窮地に立たされた私を救って下さり、誠にありがとうございましたm(_ _)mりんごとみかん、何とかなりそうです。取り急ぎ御礼まで
from: 優乃   2008/10/15 9:08 PM
この記事に書いている内容が,ご理解できたのなら,まだまだ大丈夫ですっ!
左から右,右から左に移す操作,代入する操作なども実は曲者ですからね^^;
それ以上にりんごとみかんの問題から,“式をたてる”ことも凄いところだと思います.

この記事を書くきっかけとなった冒頭の知人についてですが,8年間働いていた会社を辞めて(次が決まってもないのにw),再就職します.色々決断があったかと思います.“数学苦手な中年層さん”も頑張って下さい.

記事へのコメントありがとうございました.書いてよかったです.
from: ジュリア   2009/01/24 9:33 PM

連立方程式の練習が出来ました。

ありがとうございます。

本当に数学は嘘をつかないんだなぁと思いました(*^o^*)
from: 優乃@管理   2009/01/26 10:07 PM
こちらこそ記事がお役に立てて嬉しいです^^

ジュリアさんが解いた方程式も,デビッド・ドゥカブニーが無神論者だったしても嘘ではないのです.
from: 未来のパイロット   2011/03/22 3:26 PM
とても分かりやすくて、これからの人生の0.01ミリぐらい役に立ちそうです(*^^*)
from: 優乃   2011/03/23 12:00 AM
ご参考になったみたいで何よりですっ!

0.01ミリが1キロくらいに応用頂けることをご期待申し上げております(ニヤリ
from: TD35   2011/05/11 1:10 AM
すごいですね、この私にもわかるように書ける人がいるなんて(苦笑)

私も半年後くらいにSPIを受けなければならなくなりそうなので勉強している最中でしたが、連立方程式という単語すら忘れていた私には大変ありがたい講義になりました。


頑張っていけそうな気になってきました。
ありがとうございます。
from: 優乃   2011/05/11 11:15 PM
私にとっては、こういった記事にコメント頂けることが意外で、嬉しいです。試験中に、「そういえば、『まず、二人の仲を裂く』とか書いてたなぁ」と、この記事を思い出して頂ければ、もっと嬉しいですw

TD35さん く( ̄△ ̄)ノガンバレェェェ!!
from: Momoe   2012/11/06 10:48 PM
とても、役に立ちました!ちなみに私、中2です(^_^)/
私は成績オール5です。でも、y,xの問題がチョット苦手です。
from: かんな   2012/11/06 10:54 PM
私も、苦手です。momoeさんと同じく、もうすぐ6年になります。6年になったら、もうx,yの方程式などを習うそうです。できるかな?私の得意な教科は英語と体育と国語です。特に国語が大好きです。本を読むことが、1年からの趣味です(>~<)///////////////////
from: 優乃@管理   2012/11/07 8:04 AM
To: Momoeさん
オール5って聞いたことも見たこともないです!すごい!
数学は、どんな問題でもいいから、自分なりの解き方を発見して、それを先生に評価してもらうと、もっと得意になれますよ♪
発見するポイントは「人よりも簡単な方法で解くこと」です!

To: かんなさん
国語・英語が得意なのはすごくいいことですね!本を読んでるのもいいことです!これからもずっと続けてくださいね♪
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