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【未解決】1+1+1+…=-0.5
1 + 1 + 1 + 1 + 1 + … = -0.5


“…”は無限に1を足し続けることを意味します。何をどう計算したら、このような“とんでも式”が成り立つのか。

と思ったら、かの有名な数学者兼物理学者兼天文学者のレオンハルト・オイラーも使っていた等式だと言います。

余談ですが、映画化された小説「博士の愛した数式」で登場した神秘的な式

  e + 1 = 0

  e : ネイピア数 (自然対数の底)
  i : 虚数単位
  π : 円周率
  1 : 乗算の単位元
  0 : 加算の単位元

オイラーの等式と呼ばれています。

ということで、調べて導出してみましたが、どうしても理解不能な数式操作があります。数学のエロい人教えて下さいませ。
まず以下の式を考える (無限級数の部分和を意識)。

  S(n) = 1 + x + x2 + x3 + … + xn (= [n = 0, n]xn)
  ただし、-1 < x < 1 とする。

ここで、両辺に(1 - x)を掛けると、

  (1 - x)S(n) = (1 - x)(1 + x + x2 + x3 + … + xn)
  = (1 + x + x2 + x3 + … + xn) - (x + x2 + x3 + x4 + … + xn+1)
  = 1 - xn+1

ゆえに

  1 + x + x2 + x3 + … + xn = (1 - xn+1) / (1 - x)

ここで、n→∞とすると、xn+1 → 0であるので、

  1 + x + x2 + x3 + … = 1 / (1 - x) …

さてここで、以下の関数をゼータ関数という。

  ζ(s) = Σ[n = 1, ∞](1 / ns)
    = 1 / 1s + 1 / 2s + 1 / 3s + …

ちなみに、s = 0を代入すると、
  ζ(0) = 1 / 10 + 1 / 20 + 1 / 30 + … = 1 + 1 + 1 + …
となる。

ここで、関数η(s)(エータ)を以下のように定義する。

  η(s) = 1 / 1s - 1 / 2s + 1 / 3s - 1 / 4s + 1 / 5s - …

η(s)は,ζ(s)を用いると以下のように書ける。

  η(s) = ζ(s) - 2(1 / 2s + 1 / 4s + 1 / 6s + …)
    = ζ(s) - 2(1 / 2s)(1 + 1 / 2s + 1 / 3s + …)
    = ζ(s) - (1 / 2s-1)ζ(s)

ゆえに、

  η(s) = (1 - 21-s)ζ(s)

よって、

  ζ(0) = -η(0)

が得られる。

ちょっと数学ができる人なら、ここまでは抵抗なく理解できるだろう。と思ってたら、既にこの時点でとんでもない等式(?)が得られている。上式を展開すると、

  1 + 1 + 1 + 1 + 1 + … = -1 + 1 - 1 + 1 - 1 + …

左辺の延々と1を足し続けたものと、右辺の延々と1を交互に足したり引いたりする値が等しいという直感に反する結果が・・・

ここで、先ほどのー阿xに-1を代入した式を考えて、

  1 + (-1) + (-1)2 + (-1)3 + …
  = 1 - 1 + 1 - 1 + …
  = η(0)
  = 1 / (1 - (-1))
  = 1 / 2

ゆえに、

  ζ(0) = -1 / 2

よって、以下が得られる。

  1 + 1 + 1 + 1 + … = -1 / 2

このような無限大の値をうまく操作して、有限の値にすることを物理学では、「繰り込み」というようです。ノーベル賞を受賞した朝永振一郎の「繰り込み理論」で、この言葉をご存じの方もいらっしゃるんじゃないでしょうか。



以上で,導出は終わりですが、xに-1を代入してはいかんだろ、と思うわけです。ここが理解不能なところです。Webで,この操作は“問題を先送りにしている”とかいう言葉も見ましたが、これ単体では成り立たなくて、トータルで辻褄が合うようになる、とかそんな感じでしょうか。

ちなみに以下の式も成り立つらしい。

  1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … = -1 / 12 (= ζ(-1))
  12 + 22 + 32 + 42 + 52 + … = 0 (= ζ(-2))
  13 + 23 + 33 + 43 + 53 + … = 1 / 120 (= ζ(-3))
  14 + 24 + 34 + 44 + 54 + … = 0 (= ζ(-4))
コメント
from: yo   2008/03/01 2:58 AM
η(s)は,ζ(s)を用いると以下のように書ける。
ってとこが間違ってる気がする。

s=0の時だが

1-1+1-1+1-1+1-1+ … = (1+1+1+1+1+1+1+1+ …) + -2(0+1+0+1+0+1+0+1 …)

(1+1+1+1+1+1+1+1+ …) と (0+1+0+1+0+1+0+1 …) を共にζ(s)にしたらだめっしょ。
from: 優乃   2008/03/01 8:12 PM
有限だと明らかに間違いだけど,個数が問題にできない“無限”だと成り立つのだと思います.無限すごい,すごすぎるw

ところで,以下のような無限に関する面白い問題があります.東京でnobと呑む機会あったら,話してみて下さい f^^;

あなたはホテル『無限』のオーナー.このホテルでは無限の部屋が用意されている.今日は生憎,無限の客が宿泊していて満室だ.そこへ一人の客がきた.

1) どうにかして部屋を一室確保したい.どうすればよいか?
2) このあと団体客(有限の人数)が来るらしい.どうやって部屋を人数分空けようか?
3) そのあとに今度は無限の客が来るらしい.無限の客を宿泊させるにはどうすればいいか?
from: ku   2008/03/02 12:30 PM
すげーな。。

1)1号室の客を隣へ移動させる!!で、2号室は
  3号室へ、、、、、、N号室はN+1号室へ移動

2)1)と同じで、N+有限数隣に行け

3)すでに1と2の答えが俺間違ってるので解けない
  (笑)

答えを楽しみにしているぞ
from: 優乃   2008/03/02 7:16 PM
すごい!1)と2)合ってます!
柔軟な頭をお持ちですね.
そこに踏み込めるなら,3)も簡単ですよ!
from: あとむ   2008/03/08 9:14 AM
夢を壊すようで悪い気もしますが、発散級数の和を、あまり単純に解釈してはいけないと(たぶん)おもいます(という感じです)。 

たとえば

1/(1-x)=1+x+X^2+x^3+......

でx=−1を代入すると

1/2=1-1+1-1+1-1+.....

となりますが、この式もなんとなく疑問です。右辺を
(1-1)+(1-1)+.....と符号がついた組み合わせを括弧でくくって、和を取ると思えば右辺はゼロですし。
最初の一項だけはずして、同じ事をしてみると、これまた

1+(-1+1)+(-1+1)+....=1

となりますし。0と1の平均を取ると1/2のだという人もいますし(笑)。この辺の話題は多少私も興味があって、何度か記事にしましたが、今のところ説明するのが面倒でしっかりした解説記事をかいてません。最近まったく時間が見つけられずに、ブログはほったらかしです(涙)

結果からいうと、(ちょっと省略しすぎ?)発散級数
はそのままだとどんな値にすることもできるんで、何か一つ要求というか、何か指導原理というか・・・新たな情報を課さないといけないんですね。解析接続がその中でもっともよく使われるものだと思いますが。

先の例で言えば

1-1+1-1+1+.... == lim_{x ->1-0} x-x^2+x^3-x^4+...

とxが小さい方から1に近づく極限だと定義しなおす、とか(つまりこれはもう、x=1のときの和とは別物です。)がよくやられることでしょうか。

xが1に近づく極限とx=1での値は本来別物です。だから、こうやって定義された和はx=1の時には元の式の和の形に書いてはいけない。

ちょと疲れた。。。。。。休憩
from: あとむ   2008/03/08 9:19 AM
おっと x=−1での値のつもりが入力ミスしてます。x=1での和はこういった方法ではどうしようもなく、どうやったって無限になります。

今度暇を見つけて解析接続の記事でも書いてみます。。。 

久々にネットをした週末です。
from: 優乃   2008/03/08 8:21 PM
つまりは,以下のような式は矛盾しているとし,そうならないように条件や定義を与える,という立場でしょうか.
  1 - 1 + 1 - 1 + 1 - … = 1 / 2
この等式は変ですからね.

この記事はゼータ関数(とは何ぞや?)を調べていて,以下の等式を書いている論文がある,という疑問から投稿したものです.
  ζ(0) = -1 / 2
(例: http://www.math.nthu.edu.tw/~tjm/abstract/0012/tjm0012_3.pdf

解析接続も読んでいるのですが,いまいち???です.高校生でも分かる!解析接続の記事を楽しみにしていますf^^;

ふと,以下の値を知りたいと思いました.
  1 + x + x^2 + x^3 + … = ? (x→-1-0)
  1 + x + x^2 + x^3 + … = ? (x→-1+0)
from: あとむ   2008/03/08 9:18 PM
以下の値を知りたいということですが、

 1 + x + x^2 + x^3 + … = ? (x→-1-0)
◆1 + x + x^2 + x^3 + … = ? (x→-1+0)

少し話をもどして

1+x+x^2+x^3+.....+x^n = (1-x^n+1)/(1-x)

から出発します。これは、有限和だということに注意してください。いきなり無限和を扱うのは危険なので、有限和から出発します。

ここでn→∞をとります。極限をとる式に∞なんていうものが出てきて、それはいったい大丈夫なのか?と思うでしょうが、これは単に「nを大きくしていくと」と解釈してください(しっかりやろうとするとどうしてもεδ論法になってしまうようです)。

n→∞をとってみましょう。すると

lim_{n→∞} (1-x^n+1)/(1-x)
= 1/(1-x) (|x|<1なら)
= ∞ または定義できない (|x| >=1 )

と答えがxの値に応じて二つ出てきます。ポイントはx^{n+1}がnを大きくしたときに小さくなるか、または1とか∞になるかということによっています。そうすると

1+x+x^2+.......=1/(1-x) ( |x| < 1 に限る)

となります。よって

,任 x=-1-0 なので |x| < -1 で、答えは発散する。

△錬=-1+0、|x| <1 なので 1+x+x^2+...=1/(1-x) となり、x→-1+0をとって 1/2 です。


====================
解析接続についてですが、

1+x+x^3+x^4+・・・・=1/(1-x)

の式は、上に書いたようにxの値が|x|<1のときにしか成立しないものです。しかし右辺はxが1以外ならどこでも値を持ちます。このように、ある領域で同じ値(または関数形)をもつ関係を解析接続といいます。この場合左辺の式をx>1 の領域でも使えるものに解析接続したといいます。気持ちとしては「もっと適用範囲の広い表式をみつけてやる」というところでしょうか。

さて、
何らかの計算に左辺が出てきて、その場合にx>1であったりしたら困るわけです。しかし物理の場合に限っていえば、それはたいてい元に戻ってよくよく計算を見直すと、やり方がおかしいに決まっています。または計算していた量がもともと定義されていないとか(笑)。そういった場合にちゃんと定義をしてやると、実は左辺ではなく、右辺が出てくるという事がほとんどです。なぜか?

xの領域について、右辺は左辺よりもっと適用範囲が広いですよね。で、深く考えずに、たいていの適当な計算をすると1+x+x^2+x^3+・・・・なんかが出てきますが、それはもともと右辺の式の特殊ケース、つまり|x| <1 の場合に限った式だったというわけです。特殊な場合、つまりxが1より小さいという条件が必要であるということを気がつかずに計算をしていると、ふとxが1より大きいとどうなるんだ?とかいう疑問に陥るわけですが、それは自分の計算の適用範囲をわすれているだけで、そのことをちゃんと認識すれば、もともとの式が右辺だったという結論になります。

単純な言い方をすれば、ある領域(たとえば|x|<1)で計算して、その適用条件をはずしたい、とすると、それは適用範囲がひろい式を探すことにほかなりませんが、数学的な条件として何らかの要請(今の例では解析性)などがあれば、そういったことは可能で、解析接続はその一つの例です。そしてたいていの場合解析性が存在します。
from: 優乃   2008/03/08 11:00 PM
私が勝手に考えようと思っていたのですが,ありがとうございます.下式の極限が一致しないということは,単純にx→-1とはできないことですよね.
  1 + x + x^2 + x^3 + … = ? (x→-1-0)
  1 + x + x^2 + x^3 + … = ? (x→-1+0)
η(s) = (1 - 2^(1-s))ζ(s)に関しても,成り立つ条件を十分に精査しなくてはいけない,と感じました.

解析接続に関して,私が以下(wiki)だけを見て,上記のような背景を読めるとは思いません.説明ありがとうございます.
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A7%A3%E6%9E%90%E6%8E%A5%E7%B6%9A

さて,“1 + x + x^2 + x^3 + …”よりも“1 / (1 - x)”が本質的な式であった,というような説明ですが,後者の前者との大きな違いは,x = -1の点において,前者よりも定義が狭い,という事実です.考え方が逆ですが,それはつまり,大元の式が,x = -1を定義できなかったという単純なことなのでしょうね.

にしても,自分で経験してみないとその重要性はわからない気がします.
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