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豊臣秀吉と曾呂利新左衛門から学ぶ数列の和
曾呂利新左衛門(そろりしんざえもん)は豊臣秀吉の家臣でとても頭がきれたそうです.

ある日秀吉から

  「何でも褒美をやろう,何がよい.」

と言われ最初は断りましたが秀吉が何度も言うのでこう答えたそうです.

  「この広間の畳の端の方から,一畳目は米一粒,二畳目は倍の
   米二粒,三畳目はその倍の米四粒,次は八粒というように
   倍倍で米粒を置いていき広間のたたみ百畳分を頂けますか.」

これを聞いて秀吉は

  『米俵数俵くらいで大した量ではないだろう,なんて欲のないやつだ』

と思い承諾しました.

がしかし家来に計算させたところ,とんでもない量になることが分かり秀吉は新左衛門に謝ってほかのものに変えたそうです.

そのとんでもない量とは如何ほどか,以下では実際に米何粒になるのかを計算します.
さて,たたみに順々に米粒を置いていくと以下のようになります.

  1畳目には,米1粒
  2畳目には,米2粒
  3畳目には,米4粒
  4畳目には,米8粒
  5畳目には,米16粒
  6畳目には,米32粒
  7畳目には,米64粒
  8畳目には,米128粒
  9畳目には,米256粒
  10畳目には,米512粒
  11畳目には,米1,024粒
  …
  20畳目には,米524,288粒 (約50万粒)
  …
  50畳目には,米562,949,953,421,312粒 (約500兆粒)
  …

50畳目でこの値ですので100畳目は普通の電卓では到底計算できないほどの量になります.さらにこれら全てを足したものがもらえるので実際には以下のようになります.

    (答え) = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + … + 524,288 + … + 562,949,953,421,312 + …

これを計算した結果が答えとなりますが,単純に足すと大変ですので以下のように書き直します.

    (答え) = 20 + 21 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + … + 219 + … + 249 + … + 299

24は2を4回掛けるという意味があります.ここで両辺に2を掛けてみます(おまじない).

    2 × (答え) = 21 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 + … + 220 + … + 250 + … + 2100

これと最初の(答え)を書き並べてみます.

    2 × (答え) = 21 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 + … + 220 + … + 250 + … + 2100
         (答え) = 20 + 21 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + … + 219 + … + 249 + … + 299


上式から下式を引き算してみます.

    2 × (答え) = 21 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 + … + 220 + … + 250 + … + 2100
−)      (答え) = 20 + 21 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + … + 219 + … + 249 + … + 299
                                                                                       


右辺において上式と下式で同じ数があるのが分かりますでしょうか.これらは相殺されて引き算した結果は結局以下のようになります.

    (答え) = 2100 - 20 = 2100 - 1

よって答えは

  米1,267,650,600,228,229,401,496,703,205,375粒

と書いても想像もつきませんので

  茶碗1杯約3300粒とすれば,384,136,545,523,705,879,241,425,214杯分.
  ひと一人が1日に3杯食べるとして,350,809,630,615,256,510,722,763年分.
  地球の人口が65億人として,53,970,712,402,347年分.

ということで曾呂利新左衛門が言った,たたみ100畳分の米粒とは

  地球の人類みんなが約50兆年食べていけるだけの米粒

となります.



【余談】
・ちなみに今現在の宇宙の年齢は約150億歳です.
・この計算方法は,数学上は等比数列の和の計算方法であり複利のローン返済などでも使用されます.

【参考】
数列・漸化式カテゴリGraviness Blog
コメント
from: ku   2008/02/18 11:38 PM
優乃は数列ができる女に弱いに違いない。。。
と思ふ
from: 優乃   2008/02/19 12:43 AM
それは愚問だなw

男女問わず,「こういうことを考えることが好きな人がいること」を理解できることは重要ですね.

あーでも,前に呑み屋で「最近,マクウェルが熱い」とか語ってた女子大学生に親近感が沸いたことはありましたw
from: 坂井昭   2016/03/19 8:43 AM
曾呂利新左衛門のことを研究しています。
上記の逸話の出典となった文献はなんというもので、どうすればそれが読めますか・

2016年3月19日

299-1143 千葉県君津市君津台1-3-3         坂井 昭         TEL.0439-52-7031
from: 優乃   2017/07/12 6:05 PM
坂井昭さん

2年以上前。。。もう意味ないでしょうが。。。

この話を聞いたのは遥か昔の話で覚えておりません。授業か、講義か、書籍か。。。

同じ質問の以下に答えはありそうです。図書館でキーワード検索すると良さそうですね。
http://crd.ndl.go.jp/reference/modules/d3ndlcrdentry/index.php?page=ref_view&id=1000060031
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