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x_(i+1) = r * x_i^p の漸化式
前回記事の式を一般化した以下の漸化式の一般項xiを求める.

  xi+1 = rxip
  ただし,初項をxsとし,r,pを任意の実数とする.
自然対数をとると,
  ln(xi+1) = ln(rxip)
  ln(xi+1) = ln(r) + p * ln(xi)
ここで,yi = ln(xi) とおくと,
  yi+1 = pyi + ln(r)
以下の形に変形する.
  yi+1 - α = p(yi - α) … 
  yi+1 = pyi + α(1 - p)
辺々比較して,
  α(1 - p) = ln(r)
1) p ≠ 1 のとき,
  α = ln(r) / (1 - p)
これをー阿紡綟して,
  yi+1 - ln(r) / (1 - p) = p(yi - ln(r) / (1 - p))
ここで,zi = yi - ln(r) / (1 - p) とおくと,
  zi+1 = pzi
これは等比数列の形なので解けて,
  zi = zspi-s
ゆえに,zを展開して,
  yi - ln(r) / (1 - p) = (ys - ln(r) / (1 - p))pi-s
  ln(xi) - ln(r) / (1 - p) = (ln(xs) - ln(r) / (1 - p))pi-s
ゆえに,
  ln(xi) = (ln(xs) - ln(r) / (1 - p))pi-s + ln(r) / (1 - p)
  ln(xi) = ln(xs)pi-s - ln(r) / (1 - p) * pi-s + ln(r) / (1 - p)
  ln(xi) = ln(xs)pi-s + ln(r) * ((1 - pi-s) / (1 - p))
  eln(xi) = eln(xs)pi-s * eln(r) * ((1 - pi-s) / (1 - p))
ゆえに,
  xi = xspi-s * r(1 - pi-s) / (1 - p)
または,
  xi = r1 / (1 - p) * (xs / r1 / (1 - p))pi-s

2) p = 1 のとき,与式に代入して,
  xi+1 = rxi
これを解いて,
  xi = xsri-s



まとめると,xi+1 = rxip の一般項は,
・p ≠ 1 のとき
  xi = xspi-s * r(1 - pi-s) / (1 - p)
・p = 1 のとき
  xi = xsri-s



【余談】このあたりって大学入試弱レベルだと思いますが,これよりも,もうちょっとだけ難しい問題作りたい.ぶっちゃげ,自分で作る問題って,自分の枠を超えないね.もう奇抜な発想はできないないないない.
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