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a_n = n^2 * r^(n - 1) の数列の和
数列の一般項anが以下のとき,数列の和Snを求める.

  an = n2 * rn - 1
まず,
  Sn = Σ[k = 1, n]ak = Σ[k = 1, n](k2 * rk - 1) … 
展開すると
  Sn = = 12 * r0 + 22 * r1 + 32 * r2 + … + (n - 2)2 * rn - 3 + (n - 1)2 * rn - 2 + n2 * rn - 1
ここで,両辺に1 - rを掛けると
  (1 - r) * Sn = (1 - r) * (12 * r0 + 22 * r1 + 32 * r2 + … + (n - 2)2 * rn - 3 + (n - 1)2 * rn - 2 + n2 * rn - 1)
展開して,
  (1 - r) * Sn = (12 * r0 + 22 * r1 + 32 * r2 + … + (n - 2)2 * rn - 3 + (n - 1)2 * rn - 2 + n2 * rn - 1)
    - (12 * r1 + 22 * r2 + 32 * r3 + … + (n - 2)2 * rn - 2 + (n - 1)2 * rn - 1 + n2 * rn)
加数と減数で,r の指数が同じものに注目してまとめると
  (1 - r) * Sn = 1 + {(22 - 12) * r1 + (32 - 22) * r2 + … + ((n - 1)2 - (n - 2)2) * rn - 2 + (n2 - (n - 1)2) * rn - 1} - n2 * rn
    = {(12 - 02) * r0 + (22 - 12) * r1 + (32 - 22) * r2 + … + ((n - 1)2 - (n - 2)2) * rn - 2 + (n2 - (n - 1)2) * rn - 1} - n2 * rn
  ∵0n = 0 (n ≠ 0)
よって,
  (1 - r) * Sn = Σ[k = 1, n]{k2 - (k - 1)2} - n2 * rn
    = Σ[k = 1, n]{(2 * k - 1) * rk-1} - n2 * rn
    = 2 * Σ[k = 1, n](k * rk-1) - Σ[k = 1, n]rk-1 - n2 * rn
i) r ≠ 1のとき,
  (1 - r) * Sn = 2 * {(1 - rn) / (1 - r)2 - n * (rn/ (1 - r))} - (1 - rn) / (1 - r) - n2 * rn
  ∵an = n * rn - 1 の数列の和を参照.
これを整理して,
  (1 - r) * Sn = 2 * (1 - rn) / (1 - r)2 - ((2 * n - 1) * rn + 1) / (1 - r) - n2 * rn
ゆえに
  Sn = 2 * (1 - rn) / (1 - r)3 - ((2 * n - 1) * rn + 1) / (1 - r)2 - n2 * (rn / (1 - r))

ii) r = 1のとき,ー阿紡綟して,
  Sn = Σ[k = 1, n](k2 * 1k - 1)
    = Σ[k = 1, n]k2
    = n * (n + 1) * (2 * n + 1) / 6



まとめると,数列の一般項anが,an = n2 * rn - 1のとき,数列の和Snは,

・r ≠ 1のとき
  Sn = 2 * (1 - rn) / (1 - r)3 - ((2 * n - 1) * rn + 1) / (1 - r)2 - n2 * (rn / (1 - r))
・r = 1のとき
  Sn = n * (n + 1) * (2 * n + 1) / 6



【余談】この形にも飽きてきたので,一気に一般化して,an = np * rn - 1の数列の和を求めてみたいが,私に解けるかどうか・・・そもそも解ける問題なのか.補題があるのは確か.
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