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数列・漸化式の基本公式集
基本的で応用性の高いものを随時追加していきます.

・Σ[k = m, n]xk = Σ[k = 1, n]xk - Σ[k = 1, m - 1]xk

・Σ[k = 1, n]1 = n
・Σ[k = m, n]1 = n - m + 1

・Σ[k = 1, n]k = n(n + 1) / 2
・Σ[k = m, n]k = (n + m)(n - m + 1) / 2

・Σ[k = 1, n]k2 = n(n + 1)(2n + 1) / 6
・Σ[k = 1, n]k3 = {n(n + 1) / 2}2
・Σ[k = 1, n]k4 = n(n + 1)(2n + 1)(3n2 + 3n - 1) / 30
・Σ[k = 1, n]k5 = {n(n + 1)}2(2n2 + 2n - 1) / 12
・Σ[k = 1, n]k6 = n(n + 1)(2n + 1)(3n4 + 6n3 - 3n + 1) / 42
・Σ[k = 1, n]k7 = {n(n + 1)}2(3n4 + 6n3 - n2 - 4n + 2) / 24
・Σ[k = 1, n]k8 = n(n + 1)(2n + 1)(5n6 + 15n5 + 5n4 - 15n3 - n2 + 9n - 3) / 90
・Σ[k = 1, n]k9 = {n(n + 1)}2(n2 + n - 1)(2n4 + 4n3 - n2 - 3n + 2) / 20

以下,r ≠ 1とする.

・Σ[k = 1, n]rk-1 = (1 - rn) / (1 - r)
・Σ[k = m, n]rk-1 = (rm-1 - rn) / (1 - r)

・Σ[k = 1, n](krk-1)
  = (1 - rn) / (1 - r)2 - n * (rn / (1 - r))
  = (1 + rn(nr - n - 1)) / (1 - r)2
・Σ[k = m, n](krk-1)
  = (rm - rn) / (1 - r)2 + (mrm-1 - nrn) / (1 - r)
  = (rn(nr - n - 1) - rm-1(mr - m - r)) / (1 - r)2

以下,初項をxsとする.

・xi+1 = xi + f(i) ならば xi = xs + Σ[k = s, i - 1]f(k)
・xi+1 = r * xi ならば xi = xs * ri-s


【関連記事】
数列・漸化式カテゴリ@Graviness Blog

【参考】
べき乗数列の和の公式教えて!goo

【変更履歴】
2008/02/07 : べき和の公式を追加。参考を追加。
2008/01/20 : 記事投稿
コメント
from: のりえ   2008/02/07 1:55 PM
優乃くんすっげ〜ねぇ

なんのことやらさっぱりわからんちん。

のりえには宇宙語に見えるよ・・・・ガガガガガガ(^□^)♪
from: 優乃@管理   2008/02/08 12:27 AM
確かにある意味、宇宙共通語だな。

わからんちんは、延岡弁か?のりえ語か?

さらさらり〜ん♪
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