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a_n = n * r^(n - 1) の数列の和
数列の一般項anが以下のとき,数列の和Snを求める.

  an = n * rn - 1
まず,
  Sn = Σ[k = 1, n]ak = Σ[k = 1, n](k * rk - 1)
    = 1 * r0 + 2 * r1 + 3 * r2 + … + (n - 2) * rn - 3 + (n - 1) * rn - 2 + n * rn - 1
ここで,両辺に1 - rを掛けると
  (1 - r) * Sn = (1 - r) * (1 * r0 + 2 * r1 + 3 * r2 + … + (n - 2) * rn - 3 + (n - 1) * rn - 2 + n * rn - 1)
展開して,
  (1 - r) * Sn = (1 * r0 + 2 * r1 + 3 * r2 + … + (n - 2) * rn - 3 + (n - 1) * rn - 2 + n * rn - 1)
    - (1 * r1 + 2 * r2 + 3 * r3 + … + (n - 2) * rn - 2 + (n - 1) * rn - 1 + n * rn)
加数と減数で,r の指数が同じものに注目してまとめると
  (1 - r) * Sn = (r0 + r1 + r2 + … + rn - 2 + rn - 1) - n * rn
よって,
  (1 - r) * Sn = Σ[k = 1, n]rk - 1 - n * rn
よって,r ≠ 1のとき,
  (1 - r) * Sn = (1 - rn) / (1 - r) - n * rn
  ∵Σ[k = 1, n](a * rn - 1) = a * (1 - rn) / (1 - r) → 等比数列の和
ゆえに,
  Sn = (1 - rn) / (1 - r)2 - n * rn / (1 - r)
少し整理して,
  Sn = (1 + rn * (n * r - n - 1)) / (1 - r)2

また,r = 1のとき,
  Sn = 1 + 2 + 3 + … + (n - 1) + n
であるので,
  Sn = n * (n + 1) / 2



まとめると,数列の一般項anが,an = n * rn - 1のとき,数列の和Snは,

・r ≠ 1のとき
  Sn = (1 + rn * (n * r - n - 1)) / (1 - r)2
・r = 1のとき
  Sn = n * (n + 1) / 2



【余談】
先入観で,まさか解けるとは思ってなかったのでちと感動した.
これが解けたことで“【未解決】xi+1 = a * xi + b * i + c * ri + d の形”も解けそうです.
コメント
from: あう   2008/01/15 2:32 AM
ほんと筋金入りの数学好きやな。
俺なんて読もうとすらしてないw
エンジニア失格???
from: 優乃   2008/01/15 8:45 AM
具象的な課題を実用的に課題解決するのが,エンジニア.
具象的な課題を無駄に抽象化して課題解決を試みるのが,物理学者.
抽象化された課題から無駄にさらに抽象的な課題を作り出すのが,数学者www

なので???,本物のエンジニアなら,目にも止めないのが正解!w
from: なら   2008/01/15 12:17 PM
a_n = b_n * r^n の形式の数列の和はそういう手法で求めるのが定石であると高校時代は習いました。
r を掛けて、次数を揃えるために左右にずらしつつ、筆算のように上下に並べて引くことから、
「掛けずらし引き」と我々の間では呼ばれていましたが、一般的な名前はわかりません。
from: Flim   2008/01/15 9:12 PM
a_n = b_n * r^n
が顔文字に見えてしまうわたしは^^
from: 優乃@管理   2008/01/16 2:20 AM
To: ならさん
はじめまして。それを覚えていらっしゃったのは凄い!
私はこの歳になってはじめて気付いた気がします。
確かに、b_n * r^nの数列の和は、{(b_n - b_(n-1)) * r^n} の形を解く問題に帰結できそうですね。

To: Flim
ゲイジツカです。
from: 優乃@管理   2008/01/23 12:22 AM
> 「掛けずらし引き」と我々の間では呼ばれていましたが、一般的な名前はわかりません。

そのままですが、“S-rS法”かも知れません。
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