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x_(i+1) = a * x_i + b * i + c * r^i + d の漸化式
以下の漸化式の一般項xiを求める.

  xi+1 = a * xi + b * i + c * ri + d
  ただし,sを任意の整数とし,初項をxsとする.
  また,r ≠ 0とする.
与式を以下の形に変形する.
  xi+1 + α * (i + 1) + β * ri+1 + γ = a * (xi + α * i + β * ri + γ)
展開して,まとめると,
  xi+1 = a * xi + α * (a - 1) * i + β * (a - r) * ri + (a * γ - γ - α) … 
辺々比較して,
  α * (a - 1) = b
  β * (a - r) = c
  a * γ - γ - α = d
i) a ≠ 1 かつ a ≠ r のとき,これを解いて,
  α = b / (a - 1)
  β = c / (a - r)
  γ = (b + d * (a - 1)) / (a - 1)2
ここで,
  yi = xi + α * i + β * ri + γ
とおくと,ー阿茲蝓
  yi+1 = a * yi
これは等比数列の形なので解けて,
  yi = ys * ai-s
yを展開して,
  xi + α * i + β * ri + γ = (xs + α * s + β * rs + γ) * ai-s
ゆえに
  xi = (xs + α * s + β * rs + γ) * ai-s - α * i - β * ri - γ
  ただし,α = b / (a - 1),β = c / (a - r),γ = (b + d * (a - 1)) / (a - 1)2 である.

ii) a = 1のとき,与式に代入して,
  xi+1 = xi + b * i + c * ri + d
これは,xi+1 = xi + a * i + b * ri + c の形であるので解は,
ii-1) r ≠ 1のとき
  xi = xs + (i - s) * (b * (i - s + 1) + 2 * d) / 2 + d * (rs - ri) / (1 - r)
ii-2) r = 1のとき
  xi = xs + (i - s) * (b * (i - s + 1) + 2 * (c + d)) / 2

iii) a = r のとき,与式に代入して,
  xi+1 = r * xi + b * i + c * ri + d
※解けない・・・
両辺をri+1で割ると,
  xi+1 / ri+1 = xi / ri + b * i / ri+1 + c / r + d / ri+1
ここで,yi = xi / ri とおくと,
  yi+1 = yi + b * i / ri+1 + c / r + d / ri+1
これは階差数列の形なので解けて,
  yi = ys + Σ[k = s, i - 1]{b * k / rk+1 + c / r + d / rk+1}
ゆえに
  yi = ys + Σ[k = s, i - 1]{(b / r2) * (k / rk-1) + (d / r2) * (1 / rk-1) + c / r}
  ∴yi = ys + Σ[k = s, i - 1]{(b / r2) * (k * (1 / r)k-1) + (d / r2) * (1 / r)k-1 + c / r}
  ∴yi = ys + (b / r2) * Σ[k = s, i - 1](k * (1 / r)k-1) + (d / r2) * Σ[k = s, i - 1](1 / r)k-1 + (c / r) * Σ[k = s, i - 1]1
  ∴yi = ys + (b / r2) * {Σ[k = 1, i - 1](k * (1 / r)k-1) - Σ[k = 1, s - 1](k * (1 / r)k-1)}
    + (d / r2) * {Σ[k = 1, i - 1](1 / r)k-1 - Σ[k = 1, s - 1](1 / r)k-1}
    + (c / r) * {Σ[k = 1, i - 1]1 - Σ[k = 1, s - 1]1}
iii-1) r ≠ 1のとき,
(途中省略・・・展開方法は,この記事とか,等比数列の和を参照)
ゆえに
  xi = ri-s * xs + (i - i * r - 1 - ri-s * (s - s * r - 1)) / (1 - r)2 + d * ((1 - ri-s) / (1 - r)) + ri-1 * c * (i - s)
iii-2) r = 1のとき,ii-2)と同様である.



まとめると,xi+1 = a * xi + b * i + c * ri + d の一般項xiは,

・a ≠ 1かつa ≠ rのとき
  xi = (xs + α * s + β * rs + γ) * ai-s - α * i - β * ri - γ
  ただし,α,β,γ は以下である.
    α = b / (a - 1)
    β = c / (a - r)
    γ = (b + d * (a - 1)) / (a - 1)2
・a = 1かつr ≠ 1のとき
  xi = xs + (i - s) * (b * (i - s + 1) + 2 * d) / 2 + d * (rs - ri) / (1 - r)
・a = 1かつr = 1のとき
  xi = xs + (i - s) * (b * (i - s + 1) + 2 * (c + d)) / 2
・a = r かつ r ≠ 1のとき
※解けてない・・・
  xi = ri-s * xs + (i - i * r - 1 - ri-s * (s - s * r - 1)) / (1 - r)2 + d * ((1 - ri-s) / (1 - r)) + ri-1 * c * (i - s)



【余談】解けたのは解けたが,結果が正しいかというと全く自信なし(検算する気にもなれない)
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