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元金均等返済の計算式の導出
※本記事は,数学は好きですが算数とお金の計算は苦手な著者(優乃)が道楽で書いています.作成には慎重を期しておりますが,演算結果を保証するものではありません.

元金均等返済 とは,毎回の返済額が元金を均等割にした額と利息の合計となる利息の算出方式 をいう.

元利均等返済 と比べて,利息の合計金額が少なくなる(らしい).ただし,当初の返済額が大きく,収入がよくなければ借り難いという特徴もある(らしい).

本記事では,借入金,利率,返済回数に対して,元金均等返済 に関する計算式を導出する.
前回記事のおさらいになるが,一般的に,借入金(元金)を a0 円,利率を r (0.0 < r < 1.0),k 回目の返済額を xk 円とすると,残元金について,以下が成り立つ.

  1回目の返済後の残元金:a1 = a0 + a0 * r - x1
  2回目の返済後の残元金:a2 = a1 + a1 * r - x2
  3回目の返済後の残元金:a3 = a2 + a2 * r - x3
  ・・・
  i回目の返済後の残元金:ai = ai-1 + ai-1 * r - xi
  ・・・

さて,元金均等返済とは,その名の通り,毎回の返済額に元金を等分したものを含む.さらに,そのときの利子も含む.つまり,(毎回の返済額) = (元金を等分したもの) + (利子) であり,以下が成り立つ.
  xi = a0 / n + ai-1 * r … 
上式と合わせて,返済後の残元金について以下の式が成り立つ.
  ai = ai-1 + ai-1 * r - (a0 / n + ai-1 * r)
ゆえに,

  ai = ai-1 - a0 / n

  ただし,記号の意味は以下とする.
    n:返済回数
    i:返済した回数(1以上n以下の自然数
    ai:i 回返済後の残元金
    a0:借入金額

これは,初項を a0 とする 階差数列 の形なので解けて,
  ai = a0 + Σ[k = 1, i](-a0 / n)
  ai = a0 + (-a0 / n) * i
  ∵Σ[k = 1, n]p = p * n
a0 を改めて,A と置き換えると,

  ai = A * (1 - i / n) … 

  ただし,記号の意味は以下とする.
    n:返済回数
    i:返済した回数(1以上n以下の自然数
    ai:i 回返済後の残元金
    A:借入金額


記号を書き直すと,

  元金均等返済におけるi回返済後の残元金借入金額 ×(1 − i ÷ 返済回数

(例)借入金100万円,利率年15.0%,返済期間2年(各月返済)の場合,11回返済した時点での残元金は?
  11回返済後の残元金1,000,000 ×(1 − 11 ÷ (2 × 12))
    = 1000000 ×(1 − 11 ÷ 24)
    ≒ 1000000 ×(1 − 0.4583333)
    = 541,666円
  ※利率には,月利(年利 ÷ 12)を用いた.
  ※小数点以下は切り捨て.

ここで,各回の返済額を算出する.ー阿豊⊆阿鯊綟して(a0 → A),
  xi = A / n + (A * (1 - (i - 1) / n)) * r
  ∵ai-1 = A * (1 - (i - 1) / n)
ゆえに,これを解いて,

  xi = (A / n) * (1 + (n - i + 1) * r) … 

  ただし,記号の意味は以下とする.
    n:返済回数
    i:返済額を求める回(1以上n以下の自然数
    xi:i 回目の返済額
    A:借入金額
    r:利率 (0 < r < 1)


記号を書き直すと,

  i回目の返済額借入金額 ÷ 返済回数 ×(1 +(返済回数i + 1)× 利率

(例)借入金1000万円,利率年5.0%,返済期間20年の場合の最初(1回目)の返済額は?
  元金均等返済における1回目の返済額10,000,000 ÷ 20 ×(1 +(201 + 1)× (5.0 ÷ 100))
    = 10000000 ÷ 20 ×(1 + 20 × 0.05)
    = 10000000 ÷ 20 ×(1 + 1)
    = 10000000 ÷ 20 × 2
    = 1,000,000円

以上から,支払利息の合計金額(SR)が算出できる.支払利息の合計金額は,(各回の返済額の合計) − (借入金額) であるので,
  SR = (x1 + x2 + x3 ... + xn) - A = Σ[k = 1, n]xk - A
ゆえに,
  SR = Σ[k = 1, n]{(A / n) * (1 + (n - k + 1) * r)} - A
   = Σ[k = 1, n]{(A / n) * (r * n + r + 1 - r * k)} - A
   = (A / n) * (Σ[k = 1, n](r * n + r + 1 - r * k) - n)
   = (A / n) * (Σ[k = 1, n](r * n + r + 1) - Σ[k = 1, n](r * k) - n)
   = (A / n) * (Σ[k = 1, n](r * n + r + 1) - r * Σ[k = 1, n]k - n)
   = (A / n) * ((r * n + r + 1) * n - r * (1 / 2) * n * (n + 1) - n)
   ∵Σ[k = 1, n]p = p * n,Σ[k = 1, n]k = (1 / 2) * n * (n + 1)
ゆえに,これを整理して

  SR = A * r * (n + 1) / 2

  ただし,記号の意味は以下とする.
    SR:支払利息の合計金額
    A:借入金額
    r:利率 (0 < r < 1)
    n:返済回数


記号を書き直すと,

  元金均等返済における支払利息の合計金額借入金額 × 利率 ×(返済回数 + 1)÷ 2

  ※上式は,小数点以下のお金の扱いを考慮していないため,実際と異なります.

(例)借入金1000万円,利率年3.0%,返済期間20年(月返済)の場合の支払利息の合計金額は?
  支払利息の合計金額10,000,000 ×(3.0 ÷ 100 ÷ 12)×((20 × 12)+ 1)÷ 2
    = 10000000 × 3.0 ÷ 100 ÷ 12 ×(240 + 1)÷ 2
    = 10000000 ÷ 100 ÷ 4 × 241 ÷ 2
    = 100000 ÷ 8 × 241
    = 3,012,500円
  ※利率には,月利(年利 ÷ 12)を用いた.

さらに,借入可能金額を算出する.元金均等返済の場合,返済額が毎回変動する.返済額が最大となる回は,式より第1回目 (max(xi) = x1) であるので,借入可能金額は,初回の返済額に依存する.式の i に1を代入して,
  x1 = (A / n) * (1 + (n - 1 + 1) * r)
これを解いて

  A = x1 / (1 / n + r)

  ただし,記号の意味は以下とする.
    A:借入可能金額
    x1:初回返済額(※元金均等返済方式では,この返済額を超えることはないことに注意)
    r:利率 (0 < r < 1)
    n:返済回数


記号を書き直すと,

  元金均等返済における借入可能金額初回返済額 ÷(1 ÷ 返済回数利率

(例)初年度返済額100万円,利率年5.0%,返済期間20年の場合の借入可能金額は?
  借入可能金額1,000,000 ÷(1 ÷ 20 +(5.0 ÷ 100))
    = 1000000 ÷(0.05 + 0.05)
    = 1000000 ÷ 0.1
    = 1千万円



【電卓の使い方1】
前回記事 に関しての電卓の使い方だが,以下の計算を一般の電卓でどう入力するかについて,
  1.0536
これは累乗の計算であり,意味は「1.05を36回掛ける」である.関数電卓であれば,以下のように計算できるから問題ない.
  [1][・][0][5][x^y][3][6][=]
一般の電卓の場合,単純に1.05を36回掛けてたら面倒臭過ぎる(ちなみに入力回数は180回w).それ以上に途中で間違ったときのショックはでかい.この場合,以下のように電卓で入力できる.
  [1][・][0][5][×][=][=] …(35回)… [=]
入力回数は 40回.これでも面倒なので,36 = 6 * 6 であることに注目して,以下のように変形する.
  1.0536 = (1.056)6
そして,以下のように入力する.
  [1][・][0][5][×][=][=][=][=][=][×][=][=][=][=][=]
この場合,入力回数は 16回 で済む.

【電卓の使い方2】
以下の計算を一般の電卓でどう入力するかについて,
  1.05-6
上記と違うのは指数6の前にマイナスがついていること.意味は「1.05の逆数を6回掛ける」であるが,これは以下のように変形できる.
  1.05-6 = (1 / 1.05)6
(1 / 1.05)の結果を6回掛けろ,となるので電卓では以下のように入力する.
  [1][÷][1][・][0][5][×][=][=][=][=][=]
もしくはマニアックに以下のように入力しても正解.
  [1][・][0][5][×][=][=][=][=][=][÷][=][=]

【余談】
豆知識程度だが,ブラウザのアドレスフィールドに “javascript:alert(Math.pow(1.05,36));” と入力してもよい.もしくは,Googleの検索フィールドに “1.05^36” と入力してもよい.

【参考】
用語集/解説・・元利均等返済
住宅ローン計算も分かる,利息計算,債務返済方法の算式

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元利均等返済の計算式の導出
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