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速算法(1):□5×□5の計算
これから複数回に分けて,計算を早くするためのテクニックを記事に起こして行こうと思います.
対象は中学生以上とします.
※分かりにくいところあると思いますので,そのときは気軽に教えて下さい.記事にフィードバックしていきます.

第1回は,以下のような式を速算する方法です.

【問題】
  15×15 = ?
  35×35 = ?
  95×95 = ?

【問題のパターン】
  □5×□5
  10の位が同じ数字で,1の位が5の掛け算です.


【,硫鯏】
問題の“5”の前の数字に注目する.
  115
1と,1に1を足したものを掛ける.
  1×(1 + 1) = 1×2 = 2
それと25(5×5)を連結する.
答えは225

【△硫鯏】
同様に,問題の“5”の前の数字に注目する.
  335
3と,3に1を足したものを掛ける.
  3×(3 + 1) = 3×4 = 12
それと25(5×5)を連結する.
答えは1225

【の解答】
同様に,問題の“5”の前の数字に注目する.
  995
9と,9に1を足したものを掛ける.
  9×(9 + 1) = 9×10 = 90
それと25(5×5)を連結する.
答えは9025



数学的な根拠を以下に示します.

当該問題を一般的に表現すると次のようになります.
  (10a + 5)2
  = 100a2 + 100a + 25
  = 100 * a(a + 1) + 25



また,上述した速算方法は,以下のような3桁以上の計算にも適用できます.
  175×135=?
  955×955=?
これらについては,応用になりますので,今後の記事に書いていこうと思います.
コメント
from: nishiwaki   2007/04/13 9:13 AM
また,上述した速算方法は,以下のような3桁以上の計算にも適用できます.
  175×135=?
  955×955=?
これらについては,応用になりますので,今後の記事に書いていこうと思います.

まだでしたら、どうするか教えてください。
from: 優乃   2007/04/25 2:32 AM
どちらも以下の形式になっています.
  (100a + 10b + 5)(100a + 10c + 5)
  b + c = 10

(100a + 10b + 5)(100a + 10c + 5)
= {(100a + 10b) + 5}{(100a + 10c) + 5}
= (100a + 10b)(100a + 10c) + 5 * {(100a + 10b) + (100a + 10c)} + 25
= (100a + 10b)(100a + 10c) + 5 * {200a + 10 * (b + c)} + 25
= (100a + 10b)(100a + 10c) + 5 * {200a + 100} + 25
= 100 * (10a + b)(10a + c) + 100 * (10a + 5) + 25
= 100 * {(10a + b)(10a + c) + (10a + 5)} + 25
ゆえに
(10a + b)(10a + c) + (10a + 5)
25

【175×135】
17×13 + 15 = 221 + 15 = 236
25
∴,鉢△鯱結して,23625

【955×955】
95×95 + 95 = 9025 + 95 = 9120
25
∴,鉢△鯱結して,912025

【365×345】
36×34 + 35 = 1224 + 35 = 1259
25
∴,鉢△鯱結して,125925
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