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無限に広い平面上で地平線は見えるか?
『無限に広い平面上で地平線は見えるか?』

元ネタは,無限に広い平面上で地平線は見えるか?@数学コミュニティ@mixi
またまた現実離れした問題で,ドラゴンボールの精神と時の部屋などを想像し(アレは地球と同じ球面なのだが),あー,確か二人しか入れない設定だったのに,4人(魔人ブー,ピッコロ,トランクス,悟天)入ってなかったか?などと,思いつつ当該問題の答えが分かった気がしたので投稿する.
我々は地球という球面上に存在しているので,地平線・水平線を見ることができる(ちなみに日本で地平線が見えるのは北海道だけ).無限に広い平面上で見えるか,というと,直感では見えそうな気がするが,深く考えれば考えるほど,確信が持てなくなってくるので数学的に考えて白黒つけてみたい.

当該サイトでは,“光の速さは有限なので無限に遠くは見えない”とか,“空の色と地面の色”とか,“視力によって異なる”など面白い観点もあるが,本サイトでは物理的なことは考慮しない.

左図は地平線を説明する図である.われわれは,A点を地平線(正確に言うと地平点)として認識する.さて,このA点とは何か,A点とは視線と地球が接する点のことである.(追記:空と視線が接する点とも言える.)

これが分かれば話は簡単だ.あとは球体の半径を無限に大きくし,それを無限に広い平面と近似する.そして,A点がどのように変化するのかを考えればよい.

左図において,円(地球)の方程式は
  x2 + (y + r)2 = r2
直線(視線)は
  y = (√(2hr + h2) / r)x + h
座標A(地平線)は
  A = (-r√(2hr + h2) / (r + h), -rh / (r + h))

r → ∞とするとき,直線(視線)は
  y = h (r → ∞)
座標A(地平線)は
  A = (-∞, -h) (r → ∞)


あれ?
視線は地面に平行で,地平線は地面より下に見えるという,ちょっと変な結果になったが?
コメント
from: ろばQ   2006/11/05 12:06 AM
もっと単純に無限に広がる平面に立つ観測者の「視点A」「立っている地点B」「観ている地点C」の3角形を考えて、「BC」の長さを 0 (足下) からをどんどん増やしてみる、と言うのではどうでしょう? 取り敢えず、遠くを見れば見るほどACがBCが平行に近づく (視線が地面と平行になる) のは間違いなさそうです。

# 空気がある場所だとどんなに目が良くてもそこまで遠くは見えないと思いますが、それはおいておいて……。
from: 優乃   2006/11/05 12:18 AM
なる,そう考えると地平線は,地面から測ってABの長さと同じ高さに見えると言えそうですね.
from: 優乃   2006/11/05 12:44 AM
よくよく考えると,上記では,円を平面まで近似しましたが,“円”は楕円でも放物線でも,n次曲線でも何でもいいんですよね.しかもその近似元の関数に依存して,A点が変化しそうです.

ろばQさんの書いたとおり,あくまでも平面で考えるのが正しいのかも知れません.
そうすれば,地平線が地面に減り込んで見えることもないですしw
from: くま   2006/11/05 3:25 AM
普通に地平線は見えないんでないの?

もし、地平線が見えるということは見える範囲(点)
が存在するってことになるよね?

だとすると、宇宙空間の見える範囲(点)が存在する。
ってことにならない?


もし見えるとすると、何もない空間に人間の意識が許容できなくなった場合かと。
∞点に、人か何か立たせたらそれは無限に
地平線は見えないと思います。
from: あとむ   2006/11/05 8:22 AM
一見不思議に見えるけど、無限遠点にあるものは全て水平線上に見えるということなんじゃないのかな・・・だから接点は高さ-hのところにあるけど座標は(∞,-h)なので水平線となる。でその接点ていうのに意味があるんだろうか。。。無限遠点に高さを与えても意味がない気がするんですよね。だから結局球でも、楕円でも実際問題として何の違いも見えない、観測にかからないんだと思います。

で、問題に対する答えとして私は水平線は常に水平方向に見えるんだと思います。ちょっとでも水平からずらして上向けば空が見えるんですよね?少なくとも地面or接点は見えないですよね。すると空と無限彼方に見える接点との境目があってそこが水平線ではないかと思うんですがどうでしょう。
from: 優乃   2006/11/05 12:25 PM
>> くま
> 普通に地平線は見えないんでないの?
> もし、地平線が見えるということは見える範囲(点)
> が存在するってことになるよね?

仮に地平線を,空と地面との境界と定義すると,それが見えないとしたら,視界には空か地面しか見えない,ってことになるから,なんか直感と反しない? 無限遠点に漸近点として境界が見えると考えたわけです.

真っ暗な空間で,無限に長い有限の幅を持つ白い橋の上に立っているとき,その橋の先はどこに向かうのか,どう見るのか,とか考えると混乱してくるのですが.

>> あとむさん
> 無限遠点にあるものは全て水平線上に見えるということなんじゃないのかな・・・
> 無限遠点に高さを与えても意味がない気がするんですよね。

確かに.地面から高さ10000mに浮かぶ風船を無限遠点に置けば,やはり地面と視線と平行な点に見えますが,数学上の座標は(∞, 10000)というふうになりますね.
無限遠点に存在する全ての物体は漸近として視点と同じ高さに見える.即ち,地平線も同様にそこに見える,のかも知れません.
from: くま   2006/11/05 9:42 PM
>視界には空か地面しか見えない

んー。地平線って地面のことじゃないの?
視野が0度の人がいて、地面と水平の視線を向ければ空が見えて、その人が視線を少し下に向けると地面が見える
ってことでよろしく。
ってか、すんごい望遠鏡で見たらとそのように見えると思うが。

それより、地平線は4,800m先であることに驚きだ。
2kmくらいの平野があれば見えそうな気がするけどね。。

まぁ数学に全く関係ない話なので無視してください。
from: 優乃   2006/11/07 12:31 AM
> 視野が0度の人がいて、地面と水平の視線を向ければ空が見えて、その人が視線を少し下に向けると地面が見える

なる.視野角は特に限定しないけど,限りなく0度であれば,どちらか一方しか見えないだろうね.
では,視野角が0度より大きいとき,どうなるか.今までの考察からすると,地面と空は両方見えるし,境界(地平線)も数学的な“線”として見えそうな気がする.

> それより、地平線は4,800m先であることに驚きだ。

上記「A = (-r√(2hr + h^2) / (r + h), -rh / (r + h))」に,実値を入れて4800mが出てきたことに驚きだ.間違ってないw
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