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【未解決】誰か証明して No.1 - 2
【未解決】誰か証明して No.1ですが,アトムさん,通りすがりさんから証明を頂きました.ありがとう!
素直に喜びたいのですが,どうしても理解できない箇所があります.教えて下さいませ m(_ _)m

---
アトムさんの解答は,
> = Σk=0,n-1(-1)k nCk Dn e(n-k)t|t=0
> = Dn [ (et-1)n-(-1)n ]|t=0
上式から下式への変換方法が分かりません.
何か公式を利用したのでしょうか?
---
通りすがりさんの解答は,
> となるが,x*(d/dx) の d/dx は一度でも( (x-1)^m でなく )x に作用すると,
> その項は (x-1) を因数に持つことになるので,
が分かりません.
---

さて,当該式(下式)は高校時代に求めた式と書きましたが,微分等は使わないですし,考え方は異なります.それを以下で示します.
  n! = Σ[k=1, n]{(-1)k-1nCk-1(n + 1 - k)n}

高校時代に階差数列を習ったと思います.それと似ています.高校では,元の数列を一般的に anと書き,その階差数列を bn とアルファベット順で表現しましたが,少し一般化して,元の数列と階差数列を同一視し,元の数列を <1>nとし,その階差数列を <2>n とします.
このように表現すれば,そのさらに階差数列を <3>n などと記述でき,無限に階差数列を表現することができます.

例えば,高校で以下の公式を習ったと思います.
  an = Σ[k=1,n-1]bn-k + a1
これを上記の表記法で書くと以下のようになります.
  <1>n = Σ[k=1,n-1]<2>n-k + <1>1

---

さて,ここで階差数列の定義より,
  <2>n-1 = <1>n - <1>n-1 … 
ですが,<3>n-2も同様に
  <3>n-2 = <2>n-1 - <2>n-2
が成り立ちます.ここで右辺に,鯊綟すると
  <3>n-2 = (<1>n - <1>n-1) - (<1>n-1 - <1>n-2)
    = <1>n - 2<1>n-1 + <1>n-2
となります.<4>n-3も同様に
  <4>n-3 = <3>n-2 - <3>n-3
    = (<1>n - 2<1>n-1 + <1>n-2) - (<1>n-1 - 2<1>n-2 + <1>n-3)
    = <1>n - 3<1>n-1 + 3<1>n-2 - <1>n-3
一般的に,r番目の数列に関して,以下の式が成り立ちます.(パスカルの三角形
  <r>n-r+1 = Σ[k=1,r](-1)k-1r-1Ck-1<1>n-k+1

  NOTE:r列目の数列を,元の数列で表現しただけです.
---

※これから,示すことは証明はありません.

ここで,一般項がn2の数列を考えます.
  <1>n = n2
この階差数列の一般項<2>n-1は,
  <2>n-1 = <1>n - <1>n-1
    = n2 - (n-1)2
    = 2n - 1
さらに,その階差数列の一般項<3>n-2は,
  <3>n-2 = <2>n-1 - <2>n-2
    = {2n - 1} - {2(n - 1) - 1}
    = 2 (定数)
    = 2!

同様に,一般項がn3の数列を考えます.
  <1>n = n3
この階差数列の一般項<2>n-1は,
  <2>n-1 = <1>n - <1>n-1
    = n3 - (n-1)3
    = 3n2 - 3n + 1
この階差数列の一般項<3>n-2は,
  <3>n-2 = <2>n-1 - <2>n-2
    = {3n2 - 3n + 1} - {3(n - 1)2 - 3(n - 1) + 1}
    = 6n - 6
さらに,この階差数列の一般項<4>n-3は,
  <4>n-3 = <3>n-2 - <3>n-3
    = {6n - 6} - {6(n - 1) - 6}
    = 6 (定数)
    = 3!

同様に,一般項がn4の数列を考え,一般項<5>n-4を求めると,
  <5>n-4 = 24 (定数)
    = 4!
となります.

以上より,元の数列の一般項がnmの,m番目の階差数列の一般項<m + 1>n-mについて以下の関係が成り立つと予想できます.
  <1>n = nm ⇒ <m + 1>n-m = m! … 
  ただし,mは0以上の自然数
  ※望むなら,この証明が欲しいです・・・

これを先ほど求めた以下の式に代入します.
  <r>n-r+1 = Σ[k=1,r](-1)k-1r-1Ck-1<1>n-k+1
△mにr - 1を代入して,
  <1>n = nr-1 ⇒ <r>n-r+1 = (r - 1)! … '
  ただし,r = 1以上の自然数
ゆえに,
  (r - 1)! = Σ[k=1,r](-1)k-1r-1Ck-1(n - k + 1)r-1
    ∵<1>n = nr-1 ⇒ <1>n-k+1 = (n - k + 1)r-1
r → r+1と入れ替えて
  r! = Σ[k=1,r+1](-1)k-1rCk-1(n - k + 1)r
右辺をk=0から始めると,
  r! = Σ[k=0,r](-1)krCk(n - k)r
文字をr → n, n → xと置き換えます.
  n! = Σ[k=0,n](-1)knCk(x - k)n
さらに右辺の符号を入れ替えて,
  n! = Σ[k=0,n](-1)n+knCk(k - x)n,, … 
---

高校時代に求めた式と若干違う ^^;
驚くべきはに,不定のxが含まれること.なんだこのxは???
xをランダムに選んだ数値計算の結果では,どうやら何を代入しても成り立つようです.

ちなみに,のxに0を代入すると以下のスッキリした式が得られます.
  n! = Σ[k=0,n](-1)n+knCkkn

---

関連URI:
・最初の問題の問題提起:誰か証明して No.1
---
・アトムさんの解答:返信:誰か証明して(graviness blog)@アトムの物理ノート
・その補足説明:誰か証明して No.1 - 2#COMMENT
---
・通りすがりさんの解答:誰か証明して No.1のコメント
・その補足説明:誰か証明して No.1 - 2#COMMENT
コメント
from:   2006/11/05 7:23 AM
微分は外に括りだして
Σ_{k} nCk (-1)^k e^{(n-k)t} 

を考えますが、e^{(n-k)t}=e^{nt} e^{-kt}なので

=e^{nt} Σ_{k} nCk (-e^{-t})^k

これは -e^{-t}=aと置けば

= e^{nt} Σ_{k} nCk a^k
= e^{nt} [(1+a)^n -nCn(-e^{-t})^n]

の二項展開の公式そのものです。注意はk=nの項が和から抜け落ちているので二項定理の公式からその分をひいてください。整理して

=(e^t-1)^n -(-1)^n

となります、、

これは二項展開の公式そのものを使えます。




> = Dn [ (et-1)n-(-1)n ]|t=0
from: あとむ   2006/11/05 7:29 AM
面白いですね。全く色んな事を考えてますね。。。
高校時代かなりオタクな人だったんでしょうか(笑)

因みに最期のxが入った式、(k+x)^nを二項展開したらxの入った項は全てゼロになるんでしょうね。時間があるときに挑戦したいと思います。

イヤほんとにおもろい
from: 優乃   2006/11/05 1:43 PM
補足説明ありがとうございました!理解できました!
(通りすがりさんも見てたら(通りすがりだから見てないか・・・),非常にお手数かと思いますが,補足下さい!・・・合ってるのは感覚で分かるのですが,管理者(私)が理解できないものを解答とすることはできないのです・・・;;;;;; m(_ _)m)

> 高校時代かなりオタクな人だったんでしょうか(笑)

昔も今も数学オタクなのは間違いないでしょう!
それにしてもやっぱ高校時がピークですね.いまやこんな式,思いつく自信はありません.
from: 通りすがり   2006/11/08 1:49 AM
なんとなく気になったので通りすがれ(?)ました.


簡単のため,通常の微分を
 d = d/dx
のように小文字の d で表し,
x で微分してから x を掛けるという微分演算子を
 D = x*(d/dx)
のように大文字の D で表すことにします.

具体的に見てみると
 D^2 = x*d + x^2*d^2
 D^3 = x*d + 3x^2*d^2 + x^3*d^3
といった感じで
 D^n = {x*(d/dx)}^n
という微分演算子は,高々 n 階微分 d^n までしか
含んでいないことがわかります.

このことを踏まえて
> となるが,x*(d/dx) の d/dx は一度でも( (x-1)^m でなく )x に作用すると,
> その項は (x-1) を因数に持つことになるので,
のあたりの事情を n = 3 を例に見てみます.

まず,
 D^3 = x*d + 3x^2*d^2 + x^3*d^3
の式の右辺第1項,第2項の微分の階数が三階より小さくなっているのは
既に,ある d/dx がそれより右側の D に含まれる x を微分するということが
少なくとも1回以上起こっているからです.
(実際に D^3 を計算すれば確認できると思います)

ここで,D^3 という微分演算子を (x-1)^3 に作用させてみると
 D^3 (x-1)^3
= {x*d + 3x^2*d^2 + x^3*d^3} (x-1)^3
= (x*d)(x-1)^3 + 3(x^2*d^2)(x-1)^3 + (x^3*d^3)(x-1)^3    ……(1)
のようになりますが,
 (x-1)^3
を1回微分すると 3*(x-1)^2,2回微分すると 3*2*(x-1) のようになり,
(x-1) を因数に持ちます.一方で,(x-1)^3 を3回微分すると,
 3*2*1 = 3!
となるので,(1)式の右辺第3項は
 (3!)*x^3
となります.

つまり,
 D^3 (x-1)^3 = f_3(x)*(x-1) + (3!)*x^3
と書けるということです.
これと同様にすることで,
 D^n (x-1)^n = f_n(x)*(x-1) + (n!)*x^n
のように書けることもわかります.

ちなみに微分演算子 D^n において d^n に関連する項が
 x^n * d^n (係数が1)
となることは帰納法ですぐに確認できます.
from: 優乃   2006/11/13 11:49 PM
通りすがりさん,なんとか理解できました!
ホント,お手数おかけました! m(_ _)m

> x で微分してから x を掛けるという微分演算子をD = x*(d/dx)・・・

この辺りの理解が難でしたね.このような,順番をも含めた演算子を定義することは,私にとって斬新でした.勉強になります.
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