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抵抗を含む物体の落下運動の運動方程式
高校では空気抵抗を含まない,自由落下運動の方程式を学ぶ.

“雨粒”が落ちてくるときは,明らかに空気抵抗を感じて落ちている.空気抵抗がないとき,高度数千メートルから落ちた一つの雨粒は地上に着く頃には,なんと時速500kmにもなる.実際はというと時速25km程度.人間が雨如きで死なないのは,空気抵抗があるお陰だ(微違)

本記事では,空気抵抗を含むときの物体の落下運動の方程式を導き,実際に解いてみる.(基本的な考え方と高校数学/物理の知識で十分解ける)
落下する物体に対する(空気)抵抗は速度に比例した力を持つ.速度が上がれば上がるほど抵抗もでかくなる.身近な例で言えば,水の中でじっとしてても何も感じないが,歩き出した途端強い力を感じるはずだ.あれは速く移動すれば移動するほど,その反発力もでかくなる.

モデルは次に示す図となる.パラメータの意味を以下に示す.
  t:時間 [s]
  a:加速度 [m/s2]:a = a(t)
  v:速度 [m/s]:v = v(t)
  m:物体の質量 [kg]:正の定数
  r:空気抵抗係数 [kg/s]:正の定数
  g:重力加速度 [m/s2]:正の定数
また,鉛直上向きを正とする.

落下する物体に対し速度に比例した逆向きの力が働くので,rvの力が加わっていることが,高校で習う自由落下と異なる点である.これらから運動方程式を求め,方程式を解いてみる.

ニュートンの方程式より,以下の関係式が成り立つ.(r > 0,鉛直上向きを正としていることに注意)
  ma = -mg - rv
両辺をmで割り,k = r / mとおく.
  a = -g - kv
  ∴dv/dt = -g - kv … 
  ∵a = dv/dt(速度を時間微分したものが加速度)
ここで,右辺z = -g - kvとおくとv = (-g - z) / kであるので,これを,紡綟し,
  d/dt((-g - z) / k) = z
  d/dt(g + z) = -kz
  ∴dz/dt = -kz(∵d/dt(g) = 0)
  ∴dz/z = -kdt
  ∴∫(1/z)dz = -k∫dt
よって,
  ln(z) = -kt + C1
  ※ ln:自然対数,C1積分定数
対数をはずして
  z = e-kt + C1
  ※ e:ネイピア数
zを展開して,
  -g - kv = e-kt + C1
  ∴v = (-g - e-kt + C1) / k
  ∴v = (-g - eC1e-kt) / k
ここで,eC1 / kを改めてC1と置き換えて,(eC1 / k → C1
  v = -g / k - C1e-kt … 
境界条件としてv(0) = v0を与えると,
  v0 = -g / k - C1
  ∴C1 = -g / k - v0
よって,△紡綟して
  v = -g / k - (-g / k - v0)e-kt
  ∴v = (g / k + v0)e-kt - g / k
kを展開して
  ∴v(t) = (mg / r + v0)e-(r / m)t - mg / r,,

以上で抵抗を含む物体の落下運動における速度が求まった.t → ∞としたときのvの値を終端速度vfという.これが地上に到達したときの落下速度となる.
  vf = |v(t → ∞)| = mg / r

求めた速度の式に実際に代入してみる.(半径1mmの)水滴の落下において,
  v0 = 0 [m/s]
  m = 4.2 * 10-6 [kg] (= 4.2 [mg])
  g = 9.8 [m/s2]
  r = 3.4 * 10-7 [kg/s]
  ※参考URI:ppt05.pdf
としたとき,速度の式は以下に示す式となる.
  v(t) = (4.2 * 10-6 * 9.8 / (3.4 * 10-7) + 0)e-(3.4 * 10-7 / (4.2 * 10-6))t - 4.2 * 10-6 * 9.8 / (3.4 * 10-7)
    ≒ 120 * (e-0.081t - 1)

よって
   0秒後の水滴の速さは, 0 [km/h]
   1秒後の水滴の速さは,33 [km/h]
   2秒後の水滴の速さは,64 [km/h]
   3秒後の水滴の速さは,93 [km/h]
  …
  10秒後の水滴の速さは,240 [km/h]
  …
  50秒後の水滴の速さは,420 [km/h]
  …
  地上到達時の水滴の速さ(終端速度)は,432[km/h] (= mg / r)

・・・実測値と全然合ってない・・・

どうやら,速度が速い領域では,抵抗は速度に比例するのではなく,速度の二乗に比例するようだ.解ける気がしないが,また今度試してみようと思う.

【関連記事】
打ち上げ花火の方程式
抵抗を含む物体の落下運動の運動方程式 (速度の2乗に比例する抵抗)
・抵抗を含む物体の落下運動の運動方程式 (速度に比例する抵抗)
コメント
from:   2010/05/14 12:49 PM
結局わけがわかんない
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