Graviness Blog

算数・数学・科学・電脳・雑記・アホの順の密度で記事が構成されます。
<< October 2019 | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 >> ブログランキング・にほんブログ村へ
 
RECOMMEND
ビッグバン宇宙論 (上)
ビッグバン宇宙論 (上) (JUGEMレビュー »)
サイモン・シン, 青木 薫
RECENT COMMENT
  • 元利均等返済の計算式の導出
    優乃 (06/04)
  • 元利均等返済の計算式の導出
    yasu (06/04)
  • 元利均等返済の計算式の導出
    優乃 (05/31)
  • 元利均等返済の計算式の導出
    優乃 (05/31)
  • 元利均等返済の計算式の導出
    yasu (05/28)
  • 豊臣秀吉と曾呂利新左衛門から学ぶ数列の和
    優乃 (07/12)
  • 【誰か解いて】漸化式 a_(n+1) = f(n) * a_n ^ g(n) + h(n) の一般項
    優乃 (02/18)
  • 【誰か解いて】漸化式 a_(n+1) = f(n) * a_n ^ g(n) + h(n) の一般項
    S.S.+ (02/16)
  • 豊臣秀吉と曾呂利新左衛門から学ぶ数列の和
    坂井昭 (03/19)
  • d/dx(x↑↑n): 高さが定数のテトレーションの微分 - 数学的帰納法を用いる方法
    (09/30)
RECENT TRACKBACK
MOBILE
qrcode
PROFILE
無料ブログ作成サービス JUGEM
 
【解決済】誰か証明して No.1
以下に示す式を証明せよ.

n! = Σ[k=1, n]{(-1)k-1nCk-1(n + 1 - k)n}


手元の計算で,n = 5まで成り立つことを確認しています.それ以降のnの値は確認していません.

高校時代に導いた式ですが,私自身の証明はありません.その後ネットで当該式(に似た式?)を見た記憶はあります(恐らく,二項定理系).



追記:
アトムさんから解答頂きました!返信:誰か証明して(graviness blog)@アトムの物理ノートへ!
上記解答の補足説明は誰か証明して No.1 - 2#COMMENTへ!

通りすがりさんから,もう一つ解答いただきました!下記のコメントへ!
その補足説明は誰か証明して No.1 - 2#COMMENTへ!

全く凄い人たちがいっぱいいるものです.当該問題は出所が分かりにくい式だと思いますが,その解答もやはりひょんな式を引用して解かれています.アトムさん,通りすがりさん同じく,まさか微分されるとは思いもしませんでした.
さて,この問題の出所ですが,誰か証明して No.1 - 2で説明しています.
コメント
from: 通りすがり   2006/10/27 1:35 PM
とりあえず,
 n! = Σ[k=1,n]{(-1)^(k-1)*nCk-1*(n+1-k)^n}
において,k' = n+1-k のように番号を付け替えて
 n! = Σ[k=1,n]{(-1)^(n-k)*nCn-k*k^n}
  = Σ[k=1,n]{(-1)^(n-k)*nCk*k^n}
と簡単にしておきます.

証明の大体の流れは以下のようにできます.
二項定理より
 (x-1)^n = Σ[k=0,n]nCk*(-1)^(n-k)*x^k
が成り立つので,両辺を x で微分すると
 n(x-1)^(n-1) = Σ[k=0,n]nCk*(-1)^(n-k)*kx^(k-1)
となり,さらに両辺に x を掛けると
 nx(x-1)^(n-1) = Σ[k=0,n]nCk*(-1)^(n-k)*kx^k
となる.

このように x で微分して x を掛ける
 x*(d/dx)
という演算を繰り返すと
 {x*(d/dx)}^n (x-1)^n = Σ[k=0,n]nCk*(-1)^(n-k)*k^n*x^k
となるが,x*(d/dx) の d/dx は一度でも( (x-1)^m でなく )x に作用すると,
その項は (x-1) を因数に持つことになるので,
左辺は適当な x の整式 f(x) を用いて
 (x-1)f(x) + n!*x^n
と書ける.

したがって,
 (x-1)f(x) + n!*x^n = Σ[k=0,n]nCk*(-1)^(n-k)*k^n*x^k
が成り立ち,x=1 とすると
 n! = Σ[k=0,n]nCk*(-1)^(n-k)*k^n
となる.

注:k=0 の項は 0 となるので Σ[k=1,n] と出来る.
コメントする









 
トラックバック
この記事のトラックバックURL
http://blog.graviness.com/trackback/577484
記事を書くのをさぼってgraviness blogで出題された問題に夢中なっています。いやあ、よく色々と面白い式を出してきます。『ホントに何でこんな式思いつくんだよ!』と解けないイライラを愚痴に変えつつ暫し夢中になってしまいます
アトムの物理ノート | 2006/10/24 8:46 AM
 

(C) 2019 ブログ JUGEM Some Rights Reserved.