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3角形の角のn等分線の長さ
数学の問題:誰か解いて’」の続きです.atomさん改めてありがとうございます.
さて例の問題は,もともとは私が勝手に考えた幾何問題を解く過程で出てきたものですが,その問題を【問題3】に示します.このような問題を考えたのには元ネタがあります.それはNHKの番組「高校講座 数学」です.番組で次のような【問題1】が出題されました.

【問題1】 △ABCにおいて,∠Aの2等分線と辺BCとの交点をMとする.
∠Aは120度.ABの長さは4,ACの長さは6である.AMの長さを求めよ.
→ 【解答】

私は数学の面白さは抽象性とその問題の本質を見抜くところにあると思ってます.具体的数値を入れてもその問題の本質は分からないでしょう・・・脱線するので元に戻します.要はぬるいっと思ったわけです.ということで一般化した次の問題を考えました.

【問題2】 △ABCにおいて,∠Aの2等分線と辺BCとの交点をMとする.
∠Aの大きさをA,ABの長さをc,ACの長さをbとするとき,AMの長さを求めよ.
→ 【解答】

2等分線の長さが分かると,3等分線の長さ,4等分線の長さも気になります.ということでさらに一般化,“2等分線”のところを“n等分線”にします.これが当該問題になります.

【問題3】 △AX0Xnにおいて,∠Aのn等分線と辺X0Xnとの交点をそれぞれX1, X2, ..., Xn-1とする.
∠Aの大きさをA,AXiの長さをxiとする(i = 0, 1, 2, ...n).このときx1, x2, ..., xn-1をx0, xn, Aを用いて表せ.
→ 【解答】

-----------------------------------------------------------------------

【問題1】【解答】
AMの長さをxとおく.
△ABMの面積 + △ACMの面積 = △ABCの面積 なので
  4 * x * sin60° / 2 + 6 * x * sin60° / 2 = 4 * 6 * sin120° / 2
ここで,sin120°= sin(180°- 60°)= sin60°
  ∴4x + 6x = 24
  ∴x = 12 / 5

【問題2】【解答】
AMの長さをxとおく.
△ABMの面積 + △ACMの面積 = △ABCの面積 なので
  cxsin(A / 2) / 2 + bxsin(A / 2) / 2 = bcsinA / 2
  ∴x = bc / (b + c) * (sinA / sin(A / 2))
倍角の公式より
  x = bc / (b + c) * 2cos(A / 2)

【問題3】【解答】
隣り合う三角形の面積の和より
  △XjAXj+1の面積 + △Xj+1AXj+2の面積 = △XjAXj+2の面積
が成り立つ.また,∠XjAXj+1 = A / n,∠XjAXj+2 = 2A / nである.
  ∴xj * xj+1 * sin(A / n) / 2 + xj+1 * xj+2 * sin(A / n) / 2 = xj * xj+2 * sin(2A / n) / 2
両辺をsin(A / n) / 2 (≠0)で割る.
  xjxj+1 + xj+1xj+2 = xjxj+2 * sin(2A / n) / sin(A / n)
  xjxj+1 + xj+1xj+2 = xjxj+2 * 2cos(A / n) ∵倍角の公式
ここで,k(= kn) = 2cos(A / n) とおく.
  ∴xjxj+1 + xj+1xj+2 = kxjxj+2
※ここからアトムの物理ノートさんの鬼のような解法が続きます.
xj+2について解くと
  xj+2 = xjxj+1 / (kxj - xj+1)
逆数をとると
  xj+2-1 = kxj+1-1 - xj-1
ここで,aj = xj-1とおく.
  aj+2 = kaj+1 - aj
これは,aに関する漸化式であるので解ける.先ず次のように変形する.
  aj+2 - αaj+1= β(aj+1 - αaj) ・・・ 
上式を展開し,α, βについて解くと
  α + β = k
  αβ = 1   ・・・ 
  ∴α = (k + √(k2 - 4)) / 2, β = (k - √(k2 - 4)) / 2
ここで,bj = aj+1 - αaj とおくとー阿
  bj+1 = βbj
となり,これは等比数列の形なので解けて
  bj = b0βj
  ∴aj+1 - αaj = (a1 - αa0j ・・・ 
また,⊆阿砲いてα,βを入れ替えた式も成り立つので,
  ∴aj+1 - βaj = (a1 - βa0j ・・・ '
,'をajについて解いて
  aj = ((a1 - βa0j - (a1 - αa0j) / (α - β)
  ∴xj = (α - β) x0x1 / ((αj - βj)x0 - (αjβ - αβj)x1) ・・・ 
j = nを代入して
  ∴xn = (α - β) x0x1 / ((αn - βn)x0 - (αnβ - αβn)x1) ・・・ 
ぁきゼ阿らx1を消去して,xjについて解くと
  xj = (αn - βn)x0xn / ((αj - βj)x0 + (αnβj - αjβn)xn) ・・・ 
ただし,
  α = (k + √(k2 - 4)) / 2
  β = (k - √(k2 - 4)) / 2
  k = 2cos(A / n)
※とここで止めようと思ったけど・・・もう少しいけそうだ・・・
α,βにkを代入して
  α = cos(A / n) + i sin(A / n) = ei * A / n
  β = cos(A / n) - i sin(A / n) = e-i * A / n
  ∵オイラーの公式
  e : ネイピア数,i : 虚数
式に上α,βを代入して
  xj = (eiA - e-iA)x0xn / ((eijA / n - e-ijA / n)x0 + (eiA(1 - 1 / n) - e-iA(1 - 1 / n))xn)
ここで,sinz = (eiz - e-iz) / (2 * i) の関係式を使用し,整理すると答えは
  xj = x0xn * sinA / {x0 * sin(A(j / n)) + xn * sin(A(1 - j / n))}
  ただし,jは0以上n以下の自然数
※n = 2, x0 = 4, x2 = 6,A = 120°, j = 1を代入すると【問題1】の答え,n = 2, x0 = c, x2 = b,j = 1を代入すると【問題2】の答えがそれぞれ得られる.
※もう少し簡単になるかな???っていうか合ってるのかな?

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記事書くのと問題解くのに半日かかった・・・疲れた・・・

【関連URI】
数学の問題:誰か解いて
科学クイズ Q17@アトムの物理ノート
数学の問題:誰か解いて’
・3角形の角のn等分線の長さ
コメント
from: あとむ   2006/08/30 6:19 AM
いやー、そういう問題でしたか。幾何の問題として出されてたらお手上げでした。それにしてもこの問題はずい分うまくとけるもんですね。思わず「いい仕事してますねー」と呟いてしまいました。
from: 優乃   2006/08/31 1:58 AM
問題3について,やっぱりシンプルな解法があった! また次投稿でまとめようと思ふ.
from: 優乃   2006/09/02 4:17 PM
次の関係式が成り立つ.
  (△X_0AX_iの面積)+(△X_(i+1)AX_nの面積)=(△X_0AX_nの面積)
また,∠X_0AX_i = A * (i / n),∠X_(i+1)AX_n = A * (1 - i / n)である.
  ∴x_0 * x_i * sin(A * (i / n)) / 2 + sin(A * (1 - i / n)) / 2 = x_0 * x_n * sin(A) / 2
  ∴x_i = x_0 * x_n * sin(A) / {x_0 * sin(A * (i / n)) + x_n * sin(A * (1 - i / n))}

以上.なんて遠回りをしたんだ ^^;
今回の成果は,例の非線形連立方程式の解と当該問題の解ですな.
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