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【解答】 宝箱のパラドクス?
【問題】 宝箱のパラドクス?の解答.

答えは“替える”が正解.

替えない場合,財宝を得られる確率は1 / 3,
替える場合,財宝を得られる確率は2 / 3となる.

宝箱A,宝箱B,宝箱Cはそれぞれ1 / 3の確率で財宝が入っているが,
問題から,あなたが宝箱Aを選んだ時点では,
宝箱Aには,1 / 3の確率で財宝が入っている.
宝箱Bおよび宝箱Cには,2 / 3の確率で財宝が入っていることになる.

ロボットが,宝箱Bが空であることを示したのであるから,
宝箱Cには2 / 3の確率で財宝が入っていることになる.

分からない人は以下の類似問題を考えてみよう.

【類似問題】
宝箱が1000個ある.財宝を含む宝箱はただ一つ,他は空である.
あなたが一つ宝箱を選んだところ,ロボットがそれ以外の998個の宝箱の中身を空け,空であることを示す.
ここであなたはロボットに選択をさせられる.
「今なら残った1個の宝箱と替えてもいいですよ」
さて,替えるか替えないか.
ロボットは宝箱の中身を知っており,あなたが選んだ宝箱に財宝が入っていようがなかろうが空の宝箱を998個選ぶとする.

あなたが最初に選んだ宝箱に財宝が入っている確率は1 / 1000であるが,
残った宝箱に宝箱に財宝が入っている確率は999 / 1000である.
---
この解答が理解できない人には,この問題はパラドクスになる.
最初の問題に戻ると,恐らく「宝箱Aと宝箱Cに宝箱が入っている確率は,“入っているか入っていないか”の1 / 2.よって替えても替えなくても同じ.」と判断するのであろうが,気になる異性がいて,告白して付き合える確率は「付き合えるか,付き合えないかの50%」ではないであろう.この論理に従うと100組にナンパすると,50組は成功することになる(違うよw

→ 続き(この問題を実際に試してみよう)
コメント
from: m-nisi   2005/08/28 8:57 PM
いや、ロボットが宝箱Bが空と言った時点で
確率は1/2になると思うのだが。

って、そういう問題じゃない?
from: 優乃   2005/08/29 12:10 AM
問題に不備がありましたすみません m(_ _)m
修正済みの問題.
http://blog.graviness.com/?eid=308094
from: HATA   2005/08/29 2:20 AM
僕も上記最初のコメントの意見に同意だけど。。。。???
from: Creion   2005/08/29 10:28 AM
一般的に宝箱3つ以上で言うと
「ロボットが*1個を残して*はずれを空けてから交換する」と、
 はじめに空を選んでいた⇒必ず財宝
 はじめに財宝を選んでいた⇒必ず空
空と宝箱を反転させるている。
はじめに空を選んでいた確率のほうが大きいから、交換した方が当たる確率が大きい。

...だと思う。自信無い。
数学は苦手です
from: 優乃   2005/08/29 9:43 PM
Creionさんの解答は,なるほどと思いました.
一番分かりやすいかも.

私は考え方は・・・あえて繰り返しますが,
---
宝箱A,宝箱B,宝箱Cのうち,あなたが選んだ宝箱は宝箱Aであるが,
ここで
集合 癖箱A),集合◆癖箱B,宝箱C)
とする.

集合,忘睚が入っている確率は1 / 3,
集合△忘睚が入っている確率は2 / 3である(これは自明でしょう).

今,宝箱の中身を知っているロボットが,宝箱Bは空であることを示したので,替える場合の選択肢は宝箱Cのみ.
∴集合△砲2 / 3の確率で財宝が含まれるので,集合◆癖箱C)と替えたほうが得.
∵集合 癖箱A)に財宝が含まれる確率は1 / 3.
---
極端な例:
宝箱が100万個あった場合,
宝箱_1〜宝箱_1000000のうち,仮にあなたが選んだ宝箱を宝箱_1とする.
ここで
集合 癖箱_1),集合◆癖箱_2,宝箱_3,...宝箱_1000000)
とする.

集合,忘睚が入っている確率は1 / 1000000,
集合△忘睚が入っている確率は999999 / 1000000である.

今,宝箱の中身を知っているロボットが,
集合△999998個の宝箱は空であることを示したので,
替える場合の選択肢は集合△忙弔辰1個の宝箱のみ.
∴集合△砲999999 / 1000000の確率で財宝が含まれるので,集合△搬悗┐燭曚Δ得.
∵集合 癖箱_1)に財宝が含まれる確率は1 / 1000000.
---
【別解:ロボットの視点】
ロボットの視点を考えると,以下の3つの場合が考えられる.

1. 宝箱Aに財宝が含まれる
2. 宝箱Bに財宝が含まれる
3. 宝箱Cに財宝が含まれる

さて,あなたが選んだ宝箱が,宝箱Aであることを考慮して,
これら一つ一つのケースに対してロボットの行動は,

1-1. (宝箱Aに財宝が含まれるとき)宝箱Bを選ぶ
1-2. (宝箱Aに財宝が含まれるとき)宝箱Cを選ぶ
2-1. (宝箱Bに財宝が含まれるとき)宝箱Bを選びたいが,宝箱Bに財宝が含まれため,宝箱Cを選ぶ
2-2. (宝箱Bに財宝が含まれるとき)宝箱Cを選ぶ
3-1. (宝箱Cに財宝が含まれるとき)宝箱Bを選ぶ
3-2. (宝箱Cに財宝が含まれるとき)宝箱Cを選びたいが,宝箱Cに財宝が含まれため,宝箱Bを選ぶ

これら6つのいずれかの行動である.
実際には宝箱Bがロボットによって選ばれたので,
1-1,3-1および3-2の3つのどれかが実行されたことになる.
よって,宝箱Aに財宝が含まれる確率は1 / 3,
宝箱Cに財宝が含まれる確率は2 / 3.
∴宝箱Cを選ぶほうが得.
from: m-nisi   2005/08/31 1:40 PM
やっぱりロボットが選んだ時点で、
事後確率が1/2になると思う。
理解できねー。

>>>
表、裏それぞれ1/2の確率で
現れるコインを2回投げたところ
その内1回は表であった。
もう1回の方で裏が出ていた確率は?

【回答】
表を○
裏を×
とすると、

○○
○×
×○
××

となる。
一方が表である事から、××の組は
ありえない事がわかる。
よって、裏が出る確率は
2/3である。

>>>

という問題に似てるような気がする。
もちろん、上記コインの問題は
間違えているのだが。
from: 優乃   2005/09/04 4:07 AM
To: m-nisi
示された問題が宝箱の問題に類似するのかどうかは私は分かりませんが,以下に示す2つの問題“文”をよく読んで頂きたい.答えはまぁ...おまけみたいなもんです.

【問題1】
表、裏それぞれ1/2の確率で
現れるコインを2回投げたところ
1回目は表であった。
2回目の方で裏が出ていた確率は?

【問題1の答え】
表の状態を○,裏の状態を×とし,
1回目のコインの状態がXであり,2回目のコインの状態がYであるとき,XYと記す.
X, Yは○または×である.

1回目は表であったことから,起こりえる事象は
○○, ○×
の2通り.
∴2回目が,裏であった確率は,1 / 2.

【問題2】
表、裏それぞれ1/2の確率で
現れるコインを2回投げたところ,その内1回は表であった。
その1回は1回目か2回目かは分からない.
では,もう1回の方で裏が出ていた確率は?

【問題2の答え】
少なくとも一回は表であったことから,起こりえる事象は
○○, ○×, ×○
の3通り.
このうち,もう一回が裏である事象(少なくとも1回は裏である事象)は,
○×,×○
のいずれかの2通りである.
∴答えは2 / 3.

---

では実際問題として,以下の問題は?
この問題も同じく“少なくとも1回は表である”という条件があったときの,
もう1枚のコインで裏が出てていた可能性が高いことを求めています.

【問題3】
表、裏それぞれ1 / 2の確率で現れるコインをロボットが
私からは見えないところで2回投げた.
そこでロボットが
「コインの表裏の状態の組み合わせを言い当てたら,お金をあげるよ.
組み合わせは“表表”,“表裏”,“裏裏”というふうに答えて.
あっ,ヒントは表が少なくとも1回は出たってこと.」
と私に言った.ロボットは嘘は言わない.
さて,お金をもらうためにはどう答えるのが妥当か?

【問題3の答え】
1回は表が出たことから,“表表”,“表裏”のいずれかである.

“表表”の組み合わせは○○の1通り,
“表裏”の組み合わせは○×,×○の2通りであるので,
“表裏”の組み合わせである確率は2 / 3.
∴“表裏”と答えるのが妥当.
from: rare   2005/11/25 11:39 PM
〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜
1度目のみ宝箱を選択
2度目のみ宝箱を選択
@ 1度目、2度目とも同じ宝箱を選択
R ロボットが宝箱を選択
○ 財宝入りの宝箱
× 財宝の無い宝箱
〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜

○××
---------
。勠◆
@R─ 財宝get
´■
@─R 財宝get
↓。辧〆睚get
─@R
■勠 〆睚get
─R@

↑から8通りの事象のうち、
財宝を手に入れられる事象が
4通りなので、確率は1/2。

じゃないんですか?(´・ω・`)
from: 優乃   2005/11/26 11:24 AM
ん?問題は「替えたほうが良いか/替えないほうが良いか」ですよ.
替える替えないを区別せずに,ただ単に財宝を得られる確率を計算していませんか?
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outsider reflex | 2005/08/28 10:38 PM
 

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