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【誰か解いて】漸化式 a_(n+1) = f(n) * a_n ^ g(n) + h(n) の一般項

過去の二つの記事の漸化式を包含する a_(n+1) = f(n) * a_n ^ g(n) + h(n) の形式の一般項を求めたいです。

* 漸化式 a_(n+1) = f(n) * a_n + g(n) の一般項

* 漸化式 a_(n+1) = f(n) * a_n ^ g(n) の一般項

 

通勤時などで数ヶ月考えてますが、これがどうやっても解けない。。。恐らく初等関数の範囲では解けないのではないかと思います。

 

関連して、隣接三項間漸化式 a_(n+2) = f(n) * a_(n+1) + g(n) * a_n は、両辺を a_(n+1) で割ると、a_(n+2)/a_(n+1) = f(n) + g(n) * a_n/a_(n+1) となり、b_n = a_(n+1)/a_n とおけば、b_(n+1) = g(n) b_n ^ (-1) + f(n) となるため、本記事の漸化式が解ければ隣接三項間漸化式も解くことができます。

 

JUGEMテーマ:学問・学校

 

漸化式 a_(n+1) = f(n) * a_n ^ g(n) の一般項

あけましておめでとうございます。京都⇔宮崎の実家の移動中の数学の成果wを記事にします。

 

結論から記載すると、漸化式

a_(n+1) = f(n) * a_n ^ g(n)

の一般項が

a_n = {a_1^Π[i=1,n]g(i) * Π[j=1,n-1]{f(j)^Π[i=j+1,n]g(i)}}^{1/g(n)}

となることを示します。

 

---

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階差数列から元の数列の一般項を求める問題では、n=1の場合分けが必要になることについて

高校数学で出題される次のような問題。

 

初項a1 = 1から始まる次の数列の一般項anを求めよ。
1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, 29, 37

 

これを解く過程で場合分けが登場する。

 

各項の差をとると1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8となり、階差数列の一般項はnと書ける。

 

ゆえに、n ≧ 2の場合

an = a1 + Σ[i=1,n-1]n

これを解いて

an = n(n-1)/2 + 1

ここで右辺にn = 1を代入すると

右辺 = 1 = a1 = 左辺

となり、n = 1のときも成り立つ。

 

最後のn = 1を確認するところで、成り立たない問題を見たことがない。だから、場合分けは必要なの?って話。以下で真面目に考えてみる。

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漸化式 a_(n+1) = f(n) * a_n + g(n) の一般項

漸化式の一般項を求める。ツマラナイ答えを除外するため、を条件とする。

 

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Σ[k=1,n]floor(log_a(k)), a∈N
記事「人間が一生かけて数えることができる数はいくつまで?」で曖昧にしていた Σ[k=1,n]floor(log(k)) の展開式の新たな証明です(floor: 床関数)。当該記事の結果を変えるものではありません。本記事では一般化して Σ[k=1,n]floor(log_a(k)) で考えます。
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x_(i+2) = a * x_(i+1) + b * x_i の漸化式
意外に一度も取り上げていなかった三項間の,以下の漸化式の一般項xiを求める.

  xi+2 = axi+1 + bxi

  ただし,初項を xs とし,s は0または1とする.
  また,a ≠ 0,b ≠ 0 とする.
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【未解決】1.0369277551…
1.03692775514336992633…


この数が“何であるか”分かったら,あなたは世界レベルでほんの少しだけ有名になれるかも知れません.
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【未解決】1+1+1+…=-0.5
1 + 1 + 1 + 1 + 1 + … = -0.5


“…”は無限に1を足し続けることを意味します。何をどう計算したら、このような“とんでも式”が成り立つのか。

と思ったら、かの有名な数学者兼物理学者兼天文学者のレオンハルト・オイラーも使っていた等式だと言います。

余談ですが、映画化された小説「博士の愛した数式」で登場した神秘的な式

  e + 1 = 0

  e : ネイピア数 (自然対数の底)
  i : 虚数単位
  π : 円周率
  1 : 乗算の単位元
  0 : 加算の単位元

オイラーの等式と呼ばれています。

ということで、調べて導出してみましたが、どうしても理解不能な数式操作があります。数学のエロい人教えて下さいませ。
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豊臣秀吉と曾呂利新左衛門から学ぶ数列の和
曾呂利新左衛門(そろりしんざえもん)は豊臣秀吉の家臣でとても頭がきれたそうです.

ある日秀吉から

  「何でも褒美をやろう,何がよい.」

と言われ最初は断りましたが秀吉が何度も言うのでこう答えたそうです.

  「この広間の畳の端の方から,一畳目は米一粒,二畳目は倍の
   米二粒,三畳目はその倍の米四粒,次は八粒というように
   倍倍で米粒を置いていき広間のたたみ百畳分を頂けますか.」

これを聞いて秀吉は

  『米俵数俵くらいで大した量ではないだろう,なんて欲のないやつだ』

と思い承諾しました.

がしかし家来に計算させたところ,とんでもない量になることが分かり秀吉は新左衛門に謝ってほかのものに変えたそうです.

そのとんでもない量とは如何ほどか,以下では実際に米何粒になるのかを計算します.
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数列・漸化式の基本公式集
基本的で応用性の高いものを随時追加していきます.
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