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d/dx(x↑↑n): 高さが定数のテトレーションの微分

過去の記事「d/dx(x↑↑n): 高さが定数のテトレーションの微分 - 数学的帰納法を用いる方法」について、高さが定数のテトレーションの導関数を数学的帰納法を用いずに求めます。表記として、nx := x↑↑n を用います。

 

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d/dx(x↑↑n): 高さが定数のテトレーションの微分 - 数学的帰納法を用いる方法

本記事では高さが定数nのテトレーションの微分 d/dx(x↑↑n) を証明付きで示します。表記として、nx := x↑↑n を用います。

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「隣合う素数の差が7千万未満である素数は無限に存在する」らしい
※この記事は、数学に興味がある人を対象としています。

「隣合う素数の差が7千万未満の素数は無限に存在する」ことを証明した論文が公表されたようです。

数学感性を持っている人は「なぜ"7000万"なのか」と考えます。次に考えるのは「"7000万未満"をもっと小さい数にできないのか、1000未満などにできないか、そして"4未満"にできないか」です。

そうして「隣合う素数の差が"4未満"の素数は無限に存在する」が証明できれば、「双子素数は無限に存在する」が証明できます。

実際、当該論文が公表されたのが2013年5月13日であり、"7000万未満"は徐々に小さくなり、2014年2月22日では、"252未満"まで来ているようです。

この記事は、この発想が凄い!と思ったので、「双子素数ピンチ!7千万の境界が破られる」を敢えて双子素数の話から入らずに記述しただけのものです。是非、当該記事を読んでください。当該論文のリンクも記載されています。

JUGEMテーマ:学問・学校
【未解決】複素数平面上の二点の時間線形の直線の方程式
未解決

表題が意図を反映してるかどうか分からないけどw、目的は、
 
プロジェクトの進捗のグラフは、横軸を時間軸、縦軸を仕事量で表すことがある。
プロジェクトの始点を(0, 仕事量)として、終点は(期日までの時間、0) となり、この2点を結んだ直線を理想線といったりする。

ここで仮に「プロジェクトのゴールは得てして間違って設定される。」を原理とした場合、
そしてそのずれを虚軸方向で表せたとしたら、ゴールは複素数 x+ iy の形式で表すことができるはず。
このとき、スタート状態の点 P_0: a_0 + ib_0 と、ゴール状態の点 P_1: a_1 + ib_1 とすれば、理想線はどうなるか。

といった話。長いw

JUGEMテーマ:学問・学校
科学の天才一覧
紀元前含め歴代の天才科学者を興味深い逸話を添えて記載していきます。数学教師や物理教師が参考にしてもらえると喜びます。

※気軽にうろ覚えで記載する内容もあり、明らかな間違いは指摘ください。

* ラマヌジャン: 数学者, 1887/12/22 - 1920/4/26
専門の学者が一年に1回か2回"閃き"を感じるのに対し、1週間に2回, 3回と閃きを感じていた。1/Π = (2√2/99^2)Σ[n=0,∞]{((4n)!(1103+26390n))/(4^n*99^n*n!)^4} など、なんでこれ?といった公式を数々生み出した。独学だったため、証明の必要性と重要性が分からず、助手や後の学者が証明していった。
* フェルマー: 数学者、, 1607年末または1608年初頭- 1665/1/12
書籍に「この定理について、私は真に驚くべき証明を見つけたが、この余白はそれを書くには狭すぎる。」と書いた人。この一言で後の数学者を400年苦悩させる、なんてこの人は思っていただろうか。
* ヒルベルト: 数学,
* ポアンカレ: 数学,
* デカルト: 数学者, 物理学者 1596/3/31 - 1650/2/11
いわゆるX-Y軸の、小学校からずっと付き合った図はこの人が発明したもの。寝て起きたとき、天井の格子状の壁をみて思いついた。世の中のすべてを疑い続け、最終的にいきついた真理として「我思う、ゆえに我あり」と言ったのもこの人。
* ブルバキ: 数学, 1935年
とある数学誌に投稿し続け、世の数学者に、なんだこの天才は!?と思わせたが、実はこれペンネーム。実体は、フランスの若手の天才数学者集団だった。
* カントール: 数学者, 1845年3月3日 - 1918年1月6日
"無限"とは何かについてとことん突き詰めた人。直感的には整数と分数の数は同じだが、少数の数は桁外れに多いことを数学的に証明した人。
* ガロア: 数学者,
* クンマー: 数学者,
* アーベル: 数学者,
* オイラー: 数学者, 物理学者,
* ライプニッツ: 数学者,
* ニュートン: 数学者,
* ネイピア: 数学者,
* フェラーリ: 数学者,
* カルダーノ: 数学者,
* ピタゴラス: 数学者,
* アルキメデス: 数学者, 物理学者,
* ワイルズ: 数学者,
* ペレルマン: 数学者,
* メイザー: 数学者,
* 谷山豊: 数学者,
* 志村五郎: 数学者,
* チューリング: 数学者,
* ゲーデル: 数学者,
数学的に厳密な問題でも解けない問題があることを数学的に証明してしまった人。解けるか解けないかも数学的に分からない問題があることを数学的に証明したことで、楽観的には、人類は永久に問題に困らないことになる。
* ケプラー: 物理学者, 天文学者,
* ガリレイ: 物理学者, 天文学者,
* パスカル: 物理学者,
* ニュートン: 物理学者,
* ダランベール: 物理学者,
* ファラデー: 化学者, 物理学者,
* ドップラー: 物理学者,
* マクスウェル: 物理学者,
* モーリー: 物理学者,
* キュリー: 物理学者,
* ラザフォード: 物理学者,
* マイトナー: 物理学者,
* ハーン: 化学者, 物理学者,
* アインシュタイン: 物理学者,
* ボーア: 物理学者,
* シュレディンガー: 物理学者,
* フリードマン: 物理学者,
* ハイゼンベルク: 物理学者,
* フェルミー: 物理学者,
* オッペンハイマー: 物理学者,
* ガモフ: 物理学者,
* 朝永振一郎: 物理学者,
* メイヤー: 物理学者,
* 湯川秀樹: 物理学者,
* 南部陽一郎: 物理学者,
* アリストテレス: 天文学者,
* コペルニクス: 天文学者,
* ハーシェル: 天文学者,
* ハッブル: 天文学者,
* ホーキング: 宇宙物理学者,
* ノーベル: 化学者,
* ラヴォアジエ: 化学者,

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化学者は殆ど知らないなぁ。あと「神経症で悩んでた学者の姉か誰かが喜ばせようと甥か姪に同じ名前を付けてあげたら、学者自身は自分が二人になってさらに訳が分からなくなったことも起因して自殺。」ってエピソード誰だっけ?
log(x) / x = const. の一般解は存在しない?
x に関する方程式
 
logx / x = const.

初等関数の範囲では解けないことをはっきりさせたいだけです。適当なエビデンスがあれば証明は求めません。

といいいますのも、記事「ab > ba となる a と b の条件を求めよ」で壁になった方程式(のため回り道をして解いたの)ですが、「ランベルトのW関数」を見る限り解けなさそうです。

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半径rの円に内接する正n角形の周の長さを求めよ
タイトル通り。任意のnは難しいかも。

nが大きいとき周の長さが2Πrに近づくことを確かめたいだけなのでw、次の問題でも良いです。
 
「半径rの円に内接する正n角形があり周の長さの一つを f(n) とするとき、limn->∞f(n) = 2Πr となる f(n) を求めよ。」

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a^b > b^a となる a と b の条件を求めよ
5 を 3回掛けるよりも、3 を 5回掛けるほうが大きい
5 × 5 × 5 = 125
3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 243

11 を 3回掛けるよりも、3 を 11回掛けるほうが大きい
11 × 11 × 11 = 1,331
3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 177,147

上記の通り、指数関数は基本的に掛ける回数側の値(指数 ; 底じゃないほう)が大きいほうが大きいと思います。
この "基本的に" と "思います" の部分を定式化するのが本記事の目的です。

表題を解く際は、a と b は自然数の範囲に限定する、など自由に設定して良いことにします。ツマラナイ答えは除外したい考えです。

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【未解決】高さが変数のテトレーションの微分
未解決。

テトレーションとは、超累乗(超べき乗)のことであって、演算子↑↑を使用します。
例えば、2↑↑5=2^2^2^2^2=2^65536(2を65536回掛けた数)です。

本記事の目的は、y(x)=a↑↑x としたときのxの一次微分dy/dxを求めることですが、その前にテトレーションは一般的に自然数の範囲でしか定義されていないことです。つまり、微分を求める前にテトレーションを実数まで拡張する必要があります。

関連記事:

* d/dx(x↑↑n): 高さが定数のテトレーションの微分(2015年7月記事)
 
【未解決】トイレットペーパーの方程式
トイレで、とある人がボーっと考えたらしい。「トイレットペーパーって使えば使うほど小さくなるんだよなぁ。」

次を求めてみたい。
* 使った長さと半径の関係
* 半径と使った長さの関係(↑の逆)

上記が定式化できれば以下も大体分かるはず。SingleとDoubleのケースも求めてみたいw
* 1ロールで何回トイレにいけるか
* 1ロールで何日もつか
* 月間、御いくら円を消費するか
* 年間、御いくら円を消費するか
* (節約家の人には)一回のトイレ当たりどのくらいの長さ使えば目標の月間円消費ですむか

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