点の重なりを考慮した最適な点のサイズの導出
データを散布図等で表示するとき、データ数が多くて画面が点で塗り潰れてしまう経験はないでしょうか。
下図は10000個のデータを散布図で表示した例です。下図（左）は中央の帯の部分が点で塗り潰れています。描画領域を大きくするか、下図（右）のように点のサイズを小さく調節することで塗り潰れがなくなり、精確なデータ分析、そして美しく表示できます。
しかし、固定的なデータ数を扱う場合は問題となりませんが、データ数が変わるようなシチュエーションの場合はその都度調節する必要があり面倒です。
本記事では、データ数に応じて最適な点のサイズを自動計算する式とその導出を示します。結論を示すと、x個の点を描画するときの個々の点のサイズs(x)は次式で得られます。
s(x) = S1 * S∞ / (S1 * x + S∞)
S1: 点を1個描画するときの（x=1のときの）、1個の点による描画面積。
S∞: 総描画面積の上限。e.g. 画面の半分程度が埋まるのであればその面積。
例えば、S1=36px、S∞=3600pxの場合、s(x) = 3600 / (x + 100) となります。100点描画するとき個々の点のサイズはs(100)=18pxで描画され、同様にして1000点描画するときs(1000)=3.3px、10000点描画するときs(10000)=0.4pxとなります。
Pythonプログラムの例を示します。データ数len(data)に応じて点の描画サイズsを自動計算しています。
import numpy as np
import matplotlib
import matplotlib.pyplot as plt
data = np.random.normal(size=1000) # normal dist.
S_1, S_m = 36, 3600
s = S_1 * S_m / (S_1 * len(data) + S_m) # see
plt.title(f"count={len(data)}")
plt.ylim((-4.0, 4.0))
plt.scatter(x=np.arange(len(data)), y=data, s=s)
plt.savefig(f"sample.{len(data)}.png")
plt.close()
以降で結論に至るまでの導出を示します。
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