点の重なりを考慮した最適な点のサイズの導出
データを散布図等で表示するとき、データ数が多くて画面が点で塗り潰れてしまう経験はないだろうか。下図は10000個のデータを散布図で表示した例である。下図（左）は中央の帯の部分が点で塗り潰れてしまっている。描画領域を大きくするか、下図（右）のように点のサイズを小さく調整することで塗り潰れがなくなり、精確なデータ分析、そして美しく表示することができる。
しかし、固定的なデータ個数を扱う場合は問題とならないが、データ個数が変わるようなシチュエーションの場合はその都度調節する必要があり面倒である。
本記事では、データ個数に応じて、最適な点のサイズを自動計算する式とその導出方法を示す。結論を示すと、x個の点を描画するときの個々の点のサイズs(x)は以下で得られる。
s(x) = S1 S∞ / (S1 x + S∞)
S1: 点を1個描画するときの（x=1のときの）、1個の点による描画面積
S∞: 総描画面積の上限。e.g. 画面の半分程度が埋まるのであればその面積。
例えば、S1=36px、S∞=3600pxの場合、s(x) = 3600 / (x + 100) となる。x=1点描画するときs=36px、x=100点描画するときs=18px、x=1000点描画するときs=3.3px、x=10000点描画するときs=0.4pxとなる。Pythonプログラムの例を以下に示す。データ個数len(data)に応じて点の描画サイズsを自動計算している。
import numpy as np
import matplotlib
import matplotlib.pyplot as plt
data = np.random.normal(size=1000) # normal dist.
S_1, S_m = 36, 3600
s = S_1 * S_m / (S_1 * len(data) + S_m) # see
plt.title(f"count={len(data)}")
plt.ylim((-4.0, 4.0))
plt.scatter(x=np.arange(len(data)), y=data, s=s)
plt.savefig(f"sample.{len(data)}.png")
plt.close()
以降で結論の詳細な導出方法を示す。
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