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サイモン・シン, 青木 薫
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階差数列から元の数列の一般項を求める問題では、n=1の場合分けが必要になることについて

高校数学で出題される次のような問題。

 

初項a1 = 1から始まる次の数列の一般項anを求めよ。
1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, 29, 37

 

これを解く過程で場合分けが登場する。

 

各項の差をとると1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8となり、階差数列の一般項はnと書ける。

 

ゆえに、n ≧ 2の場合

an = a1 + Σ[i=1,n-1]n

これを解いて

an = n(n-1)/2 + 1

ここで右辺にn = 1を代入すると

右辺 = 1 = a1 = 左辺

となり、n = 1のときも成り立つ。

 

最後のn = 1を確認するところで、成り立たない問題を見たことがない。だから、場合分けは必要なの?って話。以下で真面目に考えてみる。

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漸化式 a_(n+1) = a_n * f(n) + g(n) の一般項

漸化式の一般項を求める。ツマラナイ答えを除外するため、を条件とする。

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d/dx(x↑↑n): 高さが定数のテトレーションの微分

本記事では高さが定数nのテトレーションの微分 d/dx(x↑↑n) を証明付きで示します。表記として、nx := x↑↑n を用います。

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Σ[k=1,n]floor(log_a(k)), a∈N
記事「人間が一生かけて数えることができる数はいくつまで?」で曖昧にしていた Σ[k=1,n]floor(log(k)) の展開式の新たな証明です(floor: 床関数)。当該記事の結果を変えるものではありません。本記事では一般化して Σ[k=1,n]floor(log_a(k)) で考えます。
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「隣合う素数の差が7千万未満である素数は無限に存在する」らしい
※この記事は、数学に興味がある人を対象としています。

「隣合う素数の差が7千万未満の素数は無限に存在する」ことを証明した論文が公表されたようです。

数学感性を持っている人は「なぜ"7000万"なのか」と考えます。次に考えるのは「"7000万未満"をもっと小さい数にできないのか、1000未満などにできないか、そして"4未満"にできないか」です。

そうして「隣合う素数の差が"4未満"の素数は無限に存在する」が証明できれば、「双子素数は無限に存在する」が証明できます。

実際、当該論文が公表されたのが2013年5月13日であり、"7000万未満"は徐々に小さくなり、2014年2月22日では、"252未満"まで来ているようです。

この記事は、この発想が凄い!と思ったので、「双子素数ピンチ!7千万の境界が破られる」を敢えて双子素数の話から入らずに記述しただけのものです。是非、当該記事を読んでください。当該論文のリンクも記載されています。

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